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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 68

Calcular a diferencial da função dada

f (x , y , z) = e^(x + y - z^2)

Passo 1

A diferencial de uma função de três variáveis, w = f ( x , y , z ) , é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo Delta w da variável dependente w.

Sabemos que a diferencial total de uma função de n variáveis é a soma das suas diferenciais parcias, isto é:

d f = sum_(i = 1)^n (del f)/(del x_i) d x_i

Passo 2

Pela fórmula da diferencial para funções de três variáveis, temos que

d f = (del f)/(del x) d x + (del f)/(del y) d y + (del f)/(del z) d z

(del f)/(del x) = e^(x + y - z^2)

(del f)/(del y) = e^(x + y - z^2)

(del f)/(del z) = - 2 z e^(x + y - z^2)

Portanto,

d f ( x , y ) = (e^(x + y - z^2)) d x + (e^(x + y - z^2)) d y + (- 2 z e^(x + y - z^2)) d z

d f ( x , y ) = (e^(x + y - z^2)) ( d x + d y - 2 z d z )

Resposta

d f ( x , y ) = (e^(x + y - z^2)) ( d x + d y - 2 z d z )

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Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7. f x , y = x y - 5 y 2
Demonstre que, sef é uma função de duas variáveis diferenciável em ( a , b ) , então f é contínua em ( a , b ) . Sugestão: Mostre que lim Δ x , Δ y → 0,0 ⁡ f ( a + Δ x , b + Δ y ) = f ( a , b )
Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7. f x , y = x 2 + y 2
(a) A função corresponde ao gráfico da Figura 4. Mostre que f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) existem, mas f não é diferenciável em ( 0,0 ) . [Sugestão: Utilize o resultado do Exercício 45.](b) Explique por q
Mostre que, se z = f x ,y for diferenciável em x 0 = x 0 ,y 0 , então lim x - x 0 ⁡ f x - f x 0 - ∇ f x 0 ∙ x - x 0 x - x 0 = 0