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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 44

Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7.

f x , y = x y - 5 y 2

Passo 1

Pela definição 7 se z = f ( x , y ) , então f é diferenciável em ( a , b ) se podemos expressar Δ z como

Δ z = f x a , b Δ x + f y a , b Δ y + ε 1 Δ x + ε 1 Δ y

E ε 1 , ε 2 → 0 , quando Δ x , Δ y → 0

Para encontrar ε 1 e ε 2 , vamos substituir Δ z e as derivadas parciais, como queremos provar a diferenciabilidade em todo o domínio, vamos usar o ponto genérico a , b = ( x , y )

Primeiramente vamos calcular as derivadas

f x = y

f y = x - 10 y

Substituindo

Δ z = y Δ x + x - 10 y Δ y + ε 1 Δ x + ε 1 Δ y

Passo 2

Para achar Δ z vamos assumir que estamos analizando um ponto x + Δ x , onde x é a coordenada do ponto onde está o plano tangente, o mesmo vale para y , então podemos dizer que

Δ z = f x + Δ x ,   y + Δ y - f ( x , y )

Δ z = ( x + Δ x ) ( y + Δ y ) - 5 ( y + Δ y ) 2 - x y - 5 y 2

Δ z = x y + x Δ y + y Δ x + Δ x Δ y - 5 y 2 + 2 y Δ y + Δ y 2 - x y + 5 y 2

Δ z = x Δ y + y Δ x + Δ x Δ y - 10 y Δ y - 5 Δ y 2

Temos que deixar essa equação na forma da outra   Δ z = y Δ x + x - 10 y Δ y + ε 1 Δ x + ε 1 Δ y , para isso, vamos remanejar algumas coisas e colocar alguns deltas em evidencia de maneira que fique igual a equação

Δ z = x Δ y + y Δ x + Δ x Δ y - 10 y Δ y - 5 Δ y 2

Δ z = y Δ x + x - 10 y Δ y + Δ y Δ x + ( - 5 Δ y ) Δ y

Igualando as duas equações chegamos em

ε 1 = Δ y

ε 2 = - 5 Δ y

Logo ε 1 , ε 2 → 0 .

Resposta

ε 1 = Δ y

ε 2 = - 5 Δ y

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L ( x , y ) da função no ponto.12- f x , y = x y , ( 6,3 )
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:c) f x , y = x + y
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:a) f x , y = x 2 3 + y 2 3
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:j) z = 1 x - 1 2 + y - 1 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:d) z = ln ⁡ ( x y )