Mostre que a função é diferenciável achando valores e que satisfaçam à Definição 7.
Passo 1
Pela definição 7 se , então é diferenciável em se podemos expressar como
E , quando
Para encontrar e , vamos substituir e as derivadas parciais, como queremos provar a diferenciabilidade em todo o domínio, vamos usar o ponto genérico
Primeiramente vamos calcular as derivadas
Substituindo
Passo 2
Para achar vamos assumir que estamos analizando um ponto , onde é a coordenada do ponto onde está o plano tangente, o mesmo vale para , então podemos dizer que
Temos que deixar essa equação na forma da outra, para isso, vamos remanejar algumas coisas e colocar alguns deltas em evidencia de maneira que fique igual a equação
Igualando as duas equações chegamos em
Logo .