Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 44
Mostre que a função é diferenciável achando valores e que satisfaçam à Definição 7.
Passo 1
Pela definição 7 se , então é diferenciável em se podemos expressar como
E , quando
Para encontrar e , vamos substituir e as derivadas parciais, como queremos provar a diferenciabilidade em todo o domínio, vamos usar o ponto genérico
Primeiramente vamos calcular as derivadas
Substituindo
Passo 2
Para achar vamos assumir que estamos analizando um ponto , onde é a coordenada do ponto onde está o plano tangente, o mesmo vale para , então podemos dizer que
Temos que deixar essa equação na forma da outra, para isso, vamos remanejar algumas coisas e colocar alguns deltas em evidencia de maneira que fique igual a equação
Igualando as duas equações chegamos em
Logo .
Resposta
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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L ( x , y ) da função no ponto. f x , y = x y , ( 6,3 )
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:c) f x , y = x + y
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:a) f x , y = x 2 3 + y 2 3
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:j) z = 1 x - 1 2 + y - 1 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:d) z = ln ( x y )