Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 1d
1. Verifique que a função dada é diferenciável.
d)
Passo 1
É o seguinte, para ser diferenciável, basta provarmos que a ela tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas no domínio da função.
Nesse caso, vamos ter que usar a regra do produto, então vamos com mais calma. Derivando em relação a :
Isto é,
O denominador é sempre maior ou igual a 1. Olha só:
Logo,
Então, é continua em todo ,
Passo 2
Agora vamos ver em relação a :
Assim,
Como também é contínua em todo , podemos concluir que é diferenciável em todo .Portanto, é diferenciável.
Resposta
Como e são contínuas em todo , podemos concluir que é diferenciável.
Exercícios de Livros Relacionados
Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R 2 :b) f x , y = 2 x y
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:h) f x , y = arctan 2 x y
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:e) z = s e n 2 x y x 2 + y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:f) f x , y = e x 2 - y 2
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:e) f x , y = 1 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 )