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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 1e

1. Verifique que a função dada é diferenciável.

e)

f x , y = x c o s x 2 + y 2

Passo 1

É o seguinte, para f ( x , y ) ser diferenciável, basta provarmos que a ela tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas no domínio da função.

f x , y = x c o s x 2 + y 2

Nesse caso, vamos ter que usar a regra do produto, então vamos com mais calma. Derivando em relação a x :

∂ f ∂ x = 1 × c o s x 2 + y 2 + x × - s e n x 2 + y 2 × 2 x

Isto é,

∂ f ∂ x = c o s x 2 + y 2 - 2 x 2 s e n x 2 + y 2

Opa, ∂ f ∂ x é continua em todo R 2

Passo 2

Agora vamos ver em relação a y :

∂ f ∂ y = - x s e n x 2 + y 2 × 2 y

Assim,

∂ f ∂ y = - 2 x y s e n x 2 + y 2

Como ∂ f ∂ y também é contínua em todo R 2 , podemos concluir que f é diferenciável em todo R 2 .Portanto, f é diferenciável.

Resposta

Como ∂ f ∂ y e ∂ f ∂ x são contínuas em todo R 2 , podemos concluir que f é diferenciável.

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