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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 52f

Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:

f) z = x e x + y ; P 1 1 ,   1 ,   f ( 1 ,   1 )   e   P 2 ( 1 ,   0 ,   f ( 1,0 ) )

Passo 1

As derivadas parciais de f em relação a x e y são:

∂ z ∂ x = x e x + y + e x + y

∂ z ∂ y = x e x + y

Assim, no ponto P 1 1 ,   1 ,   f ( 1 ,   1 ) :

∂ z ∂ x 1 ,   1 = 2 e 2   e   ∂ z ∂ y 1 ,   1 = e 2

O plano tangente no ponto P 1 1 ,   1 , f ( 1 ,   1 ) :

f 1 ,   1 = e 2

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = e 2 + 2 e 2 ⋅ x - 1 + e 2 ⋅ ( y - 1 )

2 e 2 x + e 2 y - z = 2 e 2

Passo 2

No ponto P 2 1 ,   0 ,   f ( 1,0 ) :

∂ f ∂ x 1 ,   0 = 2 e

∂ f ∂ y 1 ,   0 = e

O Plano tangente no ponto P 2 1 ,   0 ,   f ( 1 ,   0 ) é:

f 1 ,   0 = e

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = e + 2 e ⋅ x - 1 + e ⋅ ( y - 0 )

2 e x + e y - z = e

Resposta

2 e 2 x + e 2 y - z = 2 e 2 ; 2 e x + e y - z = e .

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