Calcular o jacobiano ∂(x, y) / ∂(u, v) para:

a) x = u * cos(v), y = u * sen(v)

Passo 1

Vamos lá, galerinha! Primeiro de tudo, vamos derivar cada uma das funções em relação a u e v :

(del x)/(del u) = cos v ; (del x)/(del v) = - u sen v

(del y)/(del u) = sen v ; (del y)/(del v) = u cos v

Agora, podemos montar nossa matriz Jacobiana!

(del (x , y))/(del ( u , v )) = [[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]] = [[[cos v,-,u,sen v],[sen v,u,cos v]]]

(del (x , y))/(del ( u , v )) = |[[cos v,-,u,sen v],[sen v,u,cos v]]| = u cos^2 v + u sen^2 v = u (cos^2 v + sen^2 v) = u

Resposta

A derivada é igual a:

(del (x , y))/(del ( u , v )) = u

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