Enunciado

Calcular os limites seguintes:

f) underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) (x^2 + 3 x y^2)/(x^2 + y^2)

Passo 1

Queremos então calcular o underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) (x^2 + 3 x y^2)/(x^2 + y^2) . Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) (x^2 + 3 x y^2)/(x^2 + y^2) = (underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) x^2 + 3 x y^2)/(underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) x^2 + y^2)

Sabemos que o limite da soma é a soma dos limites.

(underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) x^2 + 3 x y^2)/(underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) x^2 + y^2) = (underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) x^2 + underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) 3 x y^2)/(underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) x^2 + underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) y^2)

Assim temos:

= ((0)^2 + 3 (0) (1))/((0)^2 + (1)^2) = (0)/(1) = 0

Resposta

underset([[x -> 0],[y -> 1]])(lim) (x^2 + 3 x y^2)/(x^2 + y^2) = 0

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Cada um dos Exercícios 69-74 fornece uma função f (x, y) e um número positivo P. Em cada exercício, mostre que existe um δ 0 tal que, para todo (x, y), x 2 + y 2δ ⇒ f x , y - f 0,0ϵ f x , y = x 2 + y