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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 52c

Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:

c) z = x - 1 2 + y - 1 2 ; P 1 1 ,   1 ,   0   e   P 2 ( 1 ,   2 ,   1 )

Passo 1

As derivadas parciais de f em relação a x e y são:

∂ z ∂ x = x - 1 x - 1 2 + y - 1 2

∂ z ∂ y = y - 1 x - 1 2 + y - 1 2

Assim, no ponto P 1 1 ,   1 ,   0 :

∂ z ∂ x 1 ,   1 = ∄   e   ∂ z ∂ y 1 ,   1 = ∄

Como não existe as derivadas parciais de z no ponto P 1 1 ,   1 ,   0 , não existe plano tangente.

Passo 2

No ponto P 2 1 ,   2 ,   1 :

∂ f ∂ x 1 ,   2 = 1 - 1 1 - 1 2 + 2 - 1 2 = 0

∂ f ∂ y 1 ,   2 = 2 - 1 1 - 1 2 + 2 - 1 2 = 1

O Plano tangente no ponto P 2 1 ,   1 ,   1 é:

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = 1 + 0 ⋅ x - 1 + 1 ⋅ ( y - 2 )

y - z = 1

Resposta

N ã o   e x i s t e   p l a n o   t a n g e n t e ;   y - z = 1 .

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Encontrea. ∂ w ∂ y x b. ∂ w ∂ y = no ponto ( w , x , y , z ) = ( 4,2 , 1 , - 1 ) se w = x 2 y 2 + y z - z 3ex 2 + y 2 + z 2 = 6
Suponha que f ( x , y , z , w ) = 0 e g ( x , y , z , w ) = 0 , determine z e w como funções deriváveis das variáveis independentes x e y e suponha que ∂ f ∂ z ∂ g ∂ w - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ z ≠ 0 Mostre que
Suponha que w = x 2 - y 2 + 4 z + tex + 2 z + t = 25 . Mostre que cada uma das equações ∂ w ∂ x = 2 x - 1 e ∂ w ∂ x = 2 x - 2 fornece ∂w/∂x, dependendo de quais variáveis são escolhidascomo dependente
Se z = x + f ( u ) , onde u = x y , mostre que x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = x
Estabeleça o fato, amplamente utilizado na hidrodinâmica, de que, se f ( x , y , z ) = 0 , então ∂ x ∂ y z ∂ y ∂ z x ∂ z ∂ x y = - 1 . (Sugestão: expresse todas as derivadas nos termos das derivadas p