Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:

d) lim x → 1 y → 1 ⁡ x y 3 - 1 x y - 1

Passo 1

Queremos então calcular o lim x → 1 y → 1 ⁡ x y 3 - 1 x y - 1 . Só que ao calculamos diretamente, encontraremos que lim x → 1 y → 1 ⁡ x y 3 - 1 x y - 1 = 0 0 que é uma indeterminação.

Passo 2

Podemos fazer uma troca de variáveis da seguinte maneira:

x y = t 6

Onde temos que:

x → 1 ; y → 1 ; logo x y → 1

Assim:

t 6 → 1 ; então t → 1 .

lim x → 1 y → 1 ⁡ x y 3 - 1 x y - 1 = lim t → 1 ⁡ t 6 3 - 1 t 6 - 1 = lim t → 1 ⁡ t 2 - 1 t 3 - 1

Aplicando l’hôpital

= lim t → 1 ⁡ 2 t 3 t 2 = 2 3

Resposta

lim x → 1 y → 1 ⁡ x y 3 - 1 x y - 1 = 2 3

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