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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 15

Utilize coordenadas cilíndricas.

Determine a massa e o centro de massa do sólido S delimitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a   ( a > 0 ) , se S tem densidade constante K .

Passo 1

O paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 intercepta o plano z = a quando a = 4 x 2 + 4 y 2 ou x 2 + y 2 = a 4 , e temos que r = 1 2 a .

Assim, a região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:

E = r , θ , z | 0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ r ≤ 1 2 a , 4 r 2 ≤ z ≤ a

Temos que a massa é:

m = K ∙ V = K ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 a ∫ 4 r 2 a r d z d r d θ

Onde K é a densidade e V o volume.

Passo 2

Vamos resolver a integral:

m = K ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 a ∫ 4 r 2 a r d z d r d θ = K ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 a r z 4 r 2 a d r d θ = K ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 a r a - 4 r 2 r d r d θ = K ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 a r a - 4 r 3 d r d θ = K ∫ 0 2 π r 2 a 2 - r 4 0 1 2 a d θ = K ∫ 0 2 π 1 2 a 2 a 2 - 1 2 a 4 - 0 2 a 2 - 0 4 d θ = K ∫ 0 2 π a 2 8 - a 2 16 d θ = K ∫ 0 2 π a 2 16 d θ = K a 2 16 θ 0 2 π = K a 2 16 2 π - a 2 16 0 = a 2 π K 8

Passo 3

Vamos agora achar o centro de massa:

Temos por simetria que:

M y z = M x z = 0

Só nos resta calcular M x y :

M x y = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 a ∫ 4 r 2 a K r z d z d r d θ = K ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 a r z 2 2 4 r 2 a d r d θ = K ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 a r a 2 2 - r 4 r 2 2 2 d r d θ = K ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 a r a 2 2 - 8 r 5 d r d θ = K ∫ 0 2 π r ²   a 2 4 - 4 r 6 3 0 1 2 a d θ = K ∫ 0 2 π 1 2 a ²   a 2 4 - 4 1 2 a 6 3 - 0 ²   a 2 4 - 4 . 0 6 3 d θ = K ∫ 0 2 π a 3 24 d θ = K a 3 24 θ 0 2 π = K a 3 24 2 π - a 3 24 0 = a 3 π K 12

Temos então que:

z - = M x y m = a 3 π K 12 a 2 π K 8 = a 3 π K 12 ∙ 8 a 2 π K = 2 a 3

Assim, o centro de massa é:

x - , y - , z - = 0,0 , 2 a 3  

Resposta

m = a 2 π K 8

x - , y - , z - = 0,0 , 2 a 3  

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Determine o centro de massa do tetraedro sólido com vértices ( 0 ,0 ,0 ) ,( 1 ,0 ,0 ) ,( 0 ,2 ,0 ) ,( 0 ,0 ,3 ) e função densidade ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .
Encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao plano y de uma placa fina delimitada pelo eixo x, pelas retas x = ± 1 , e pela parábola y = x 2 se d e l t a x , y = 7 y + 1 .
Encontrando o momento de inercia: encontre o momento de inercia em relação ao eixo y de uma folha fina de densidade constante δ = 1 delimitada pelas curvas y = s e n 2 x x 2 e o intervalo π ≤ x ≤ 2 π
Primeiro momento de uma placa infinita: encontre o primeiro momento de inercia em relação ao eixo y de uma placa fina de densidade δ x , y = 1 que cobre a rgião infinita sob a curva y = e - x 2 2 no p
Encontrando momentos de inercia: encontre os momentos de inercia em relação aos eixos coordenados de uma placa fina retangular de densidade constante δ delimitada pelas curvas x = 3 e y = 3 no primeir