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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 15.4 - Ex. 34

Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50   m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de e - r metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.

(a) Se 0 < R ≤ 100 , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada no pulverizador?

(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio R .

Passo 1

(a) E aí, pessoal? A gente precisa calcular a quantidade total de água por hora dentro de um círculo de raio R , e podemos fazer isso por meio de uma integral:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 R e - r     r   d r   d θ

Pra calcular a integral dupla, vamos separá-la em um produto de duas integrais simples:

∫ 0 2 π ∫ 0 R e - r     r   d r   d θ = ∫ 0 2 π   d θ ∫ 0 R r e - r d r = θ 0 2 π - r e - r - e - r 0 R = 2 π   - R e - R - e - R + 0 + e 0 = 2 π   ( 1 - R e - R - e - R )

Passo 2

(b) Galera, no item anterior, achamos a quantidade total de água por hora, e agora precisamos da quantidade média por hora por metro quadrado. Então, é só dividir o resultado do item anterior pela área do círculo de raio R , certo?

V m = V π R 2 = 2 π   ( 1 - R e - R - e - R ) π R 2 = 2 R 2 ( 1 - R e - R - e - R )

Resposta

(a) 2 π   1 - R e - R - e - R

(b) 2 R 2 ( 1 - R e - R - e - R )

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Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a ∫ π / 2 π∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ
A região limitada por ambos cardioides r = 1 + cos ⁡ θ e r = 1 - cos ⁡ θ
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y 2 x 2 + y 2 d A Onde R é a região que fica entre os círculos x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + y 2 = b 2 com 0ab .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R 2 x - y d A Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 4 e as retas x = 0 e y = x .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D cos ⁡ x 2 + y 2 d A Onde D é o disco com centro na origem e raio 2.