Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de e^(-r) metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.

(a) Se 0 < R <= 100 , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada no pulverizador?

(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio R .

Passo 1

(a) E aí, pessoal? A gente precisa calcular a quantidade total de água por hora dentro de um círculo de raio R , e podemos fazer isso por meio de uma integral:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 R e - r     r   d r   d θ

Pra calcular a integral dupla, vamos separá-la em um produto de duas integrais simples:

∫ 0 2 π ∫ 0 R e - r     r   d r   d θ = ∫ 0 2 π   d θ ∫ 0 R r e - r d r = θ 0 2 π - r e - r - e - r 0 R = 2 π   - R e - R - e - R + 0 + e 0 = 2 π   ( 1 - R e - R - e - R )

Passo 2

(b) Galera, no item anterior, achamos a quantidade total de água por hora, e agora precisamos da quantidade média por hora por metro quadrado. Então, é só dividir o resultado do item anterior pela área do círculo de raio R , certo?

V m = V π R 2 = 2 π   ( 1 - R e - R - e - R ) π R 2 = 2 R 2 ( 1 - R e - R - e - R )

Resposta

(a) 2 π   1 - R e - R - e - R

(b) 2 R 2 ( 1 - R e - R - e - R )

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