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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 23b

Calcular as seguintes integrais:

int_0^2 int_0^(sqrt(4 - x^2)) int_0^(4 - x^2 - y^2) x^2 d z . d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de zero até 4 - x^2 - y^2 .

Com isso nós deduzimos que:

z = 4 - x^2 - y^2

Um paraboloide, certo?

Assim como o z, o x e o y também partem do zero !!

Então nosso desenho ficará assim:

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas cilíndricas:

z = 4 - r^2

Então z irá:

0 <= z <= 4 - r^2

Quando z equivale a zero, nosso raio vai de:

0 = 4 - r^2

r^2 = 4

r = +- 2

Shooow!! Já temos o intervalo de r:

0 <= r <= 2

Legal, agora só precisamos de theta .

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, no círculo esse ângulo vai de 0 até 360°, mas neste caso x e y começam do zero, então teremos ¼ do círculo, não é mesmo?

0 <= theta <= (pi)/(2)

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

int_0^2 int_0^(sqrt(4 - x^2)) int_0^(4 - x^2 - y^2) x^2 d z . d y . d x

Lembrando que:

x = r . cos ( theta )

Então:

= int_0^((pi)/(2)) int_0^2 int_0^(4 - r^2) ( r^2 . cos^2 ( theta ) ) r d z . d r . d theta

= int_0^((pi)/(2)) int_0^2 int_0^(4 - r^2) ( r^3 ) d z . d r . cos^2 ( theta ) . d theta

Resolvendo:

int_0^(4 - r^2) ( r^3 ) d z = r^3 z = r^3 ( 4 - r^2 )

Aplicando na integral:

= int_0^((pi)/(2)) int_0^2 ( 4 r^3 - r^5 ) d r . cos^2 ( theta ) . d theta

Resolvendo a integral:

int_0^2 ( 4 r^3 - r^5 ) d r = (4 r^4)/(4) - (r^6)/(6)

Aplicando o intervalo:

= 2^4 - (2^6)/(6) = 16 - (32)/(3) = (16)/(3)

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= int_0^((pi)/(2)) (16)/(3) cos^2 ( theta ) . d theta

= (16)/(3) int_0^((pi)/(2)) cos^2 ( theta ) . d theta

Lembrando que:

cos^2 ( theta ) = (1 + cos ( 2 theta ))/(2)

Substituindo:

= (16)/(6) int_0^((pi)/(2)) ( 1 + cos ( 2 theta ) ) . d theta

= (16)/(6) [theta + int_0^((pi)/(2)) cos (2 theta) . d theta]

Mais uma substituição aqui:

= (16)/(6) [theta + (1)/(2) s e n ( 2 theta )]

Aplicando o intervalo:

= (8)/(3) [(pi)/(2) + (1)/(2) [s e n (pi) - s e n (0)]]

= (8)/(3) [(pi)/(2)]

= (4 pi)/(3)

Prontinhoo!!

Resposta

(4 pi)/(3)

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x 2 + y 2 d V , onde E é a região que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 16 e entre os planos z = - 5 e z = 4 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x 2 d V , onde E é o sólido que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , acimo do plano z = 0 e abaixo do cone z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E ( x - y ) d V , onde E é o sólido que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 16 , acima do plano- x y , e abaixo do plano z = y + 4 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x 3 + x y 2 d V , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 .