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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 26

Calcule o valor da integral m��ltipla.

∫ ∫ ∫ E   z   d V

onde   E   é limitado pelos planos   y = 0 , z = 0 , x + y = 2   e pelo cilindro   y 2 + z 2 = 1   no primeiro octante.

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral:

∫ ∫ ∫ E   z   d V

Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada.

Vamos analisar os limites de integração?

Veja que há um plano em y = 0 e um plano em z = 0 ,   então sabemos que o limite inferior em ambos os casos é 0 .

E o limite superior? Veja que estamos limitados pelo cilindro:

y 2 + z 2 = 1

E pelo plano

x + y = 2

Iremos então manipular essas equações de modo a encontrar os limites de integração da nossa integral. Vamos lá?

Passo 2

Podemos isolar z , da seguinte forma:

z = 1 - y 2

z   é máximo quando y = 0 de modo que:

0 ≤ z ≤ 1 - y 2

Além disso, percebemos que isso só é valido quando:

0 ≤ y ≤ 1

Podemos ainda escrever x em evidencia da seguinte forma:

x = 2 - y

Ou seja, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 2 - y z   d x   d z   d y

Passo 3

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 2 - y z   d x   d z   d y

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ 0 2 - y z   d x = z x 0 2 - y = 2 - y ⋅ z

Agora, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 2 - y ⋅ z   d z   d y

Agora, novamente resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ 0 1 - y 2 2 - y ⋅ z   d z = 2 z 2 2 - y z 2 2 0 1 - y 2 = 1 2 ⋅ 2 - y 1 - y 2

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 1 1 2 ⋅ 2 - y 1 - y 2   d y

Simplificando:

∫ 0 1 1 2 ⋅ 2 - y - 2 y 2 + y 3   d y =

Integrando em relação a y

1 2 ⋅ 2 y - y 2 2 - 2 y 3 3 + y 4 4 0 1

Aplicando os limites de integração:

= 13 24

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

13 24

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Esboce o sólido descrito pelas inequações. 0 ≤ θ ≤ π 2 ,r ≤ z ≤ 2
Esboce o sólido descrito pelas inequações. r 2 ≤ z ≤ 8 - r 2
Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Mude o sistema de coordenadas de retangulares para cilíndricas.
Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ x 2 + y 2 x 2 + y 2 x y z d z d x d y