Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 26
Calcule o valor da integral m��ltipla.
ondeé limitado pelos planose pelo cilindrono primeiro octante.
Passo 1
E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral:
Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada.
Vamos analisar os limites de integração?
Veja que há um plano em e um plano em então sabemos que o limite inferior em ambos os casos é .
E o limite superior? Veja que estamos limitados pelo cilindro:
E pelo plano
Iremos então manipular essas equações de modo a encontrar os limites de integração da nossa integral. Vamos lá?
Passo 2
Podemos isolar , da seguinte forma:
é máximo quando de modo que:
Além disso, percebemos que isso só é valido quando:
Podemos ainda escrever em evidencia da seguinte forma:
Ou seja, temos:
Passo 3
Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos
Resolvendo a integral mais interna vamos ter
Agora, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida
Agora, novamente resolvendo a integral mais interna vamos ter
Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida
Simplificando:
Integrando em relação a
Aplicando os limites de integração:
Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.