Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.8 - Ex. 25
Utilize coordenadas cilíndricas.
- Ache o volume da região limitada pelos paraboloides e .
- Encontre o centroide do (centro de massa no caso em que a densidade é constante).
Passo 1
Fala, galerinha linda! Tudo ótimo?
A nossa questão tem duas partes:
A parte (a) pede para acharmos o volume da região limitada pelos paraboloides:
e
Para achar o volume de um sólido, usamos a integral:
Bom, o que falta para calcularmos essa integral tripla são os limites de integração para cada variável, , e .
Então nosso objetivo nessa questão é olharmos o sólido tridimensional e sua projeção no plano para entendermos qual o limite de integração de cada variável. A gente consegue isso com a descrição da região que a questão trouxe.
Como o próprio enunciado diz, temos que usar as coordenadas cilíndricas na descrição da nossa região . As relações entre coordenadas cilíndricas e coordenadas retangulares são dadas da seguinte forma:
E:
Com os limites de integração em mãos, é só arranjarmos a integral na ordem que acharmos mais prático e calcular nossa integral iterada, começando da integral de dentro até a integral mais externa.
Para resolver a parte b) que pede para acharmos o centroide do nosso sólido, precisamos encontrar:
Onde são os momentos em relação a cada plano, dados pelas integrais:
E é a massa do sólido, dada por:
A função representa a densidade e, como o enunciado diz que ela é constante, escrevemos:
Vamos lá? 
Passo 2
- Vamos começar escrevendo nossa região em coordenadas cilíndricas:
- Para a densidade constante , temos
Para acharmos qual a projeção dos paraboloides no plano , é só igualarmos as equações:
e
Então, os paraboloides se intersectam em:
Simplificando:
Temos então que a região de integração é:
Como:
Temos um círculo de raio .
Nosso representa o raio, então:
Nosso representa a variação do ângulo interno de uma circunferência completa:
E representa a variação de altura no eixo :
Como:
Reescrevemos as equações dos paraboloides em coordenadas cilíndricas:
e
Se tornam:
e
E os nossos limites serão:
E a região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:
Passo 3
Vamos calcular a integral resultante, colocando por dentro da integral com função nos limites de integração:
Começando pela integral de dentro:
Aplicando os limites de integração:
Separando as integrais, cada qual com sua variável de integração:
Por fim, resolvendo as integrais restantes:
Então o volume do sólido é:
Passo 4
Substituindo o volume que achamos na parte (a):
pela letra (a), e como a região é homogênea e simétrica temos:
Então, precisamos calcular somente:
Tirando a constante para fora e resolvendo a integral mais interna em :
Aplicando os limites de integração:
Separando cada integral com sua variável de integração:
Resolvendo as duas integrais:
Aplicando o s limites de integração:
Temos então: