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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 37

O sólido delimitado abaixo pela esfera r = 2 cos f e acima pelo

cone z = 2x2 + y 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício faremos:a. Encontraremos os limites em coordenadas esféricas para a integral que estima o volume do sólido dado, eb. Resolveremos a integral.O sólido delimitado abaixo pela esfera ρ = 2 c o s ⁡ ϕ e acima pelo cone z = x 2 + y 2 .

Passo 2

a. O volume referente ao sólido pedido é:

V = ∫ 0 2 π   ∫ π / 4 π / 2   ∫ 0 2 c o s ⁡ ϕ   ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 3

b. Resolveremos então a integral para encontrarmos o volume do sólido:

V   = ∫ 0 2 π     ∫ π / 4 π / 2     ∫ 0 2 c o s ⁡ ϕ     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ V   = 8 3 ∫ 0 2 π     ∫ π / 4 π / 2     c o s 3 ⁡ ϕ s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ V   = 8 3 ∫ 0 2 π     - c o s 4 ⁡ ϕ 4 π / 4 π / 2 d θ V   = 8 3 1 16 ∫ 0 2 π     d θ V   = 1 6 ( 2 π ) V   = π 3

Resposta

Resposta: o volume é V = π 3

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