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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 52

Cone e planos Encontre o volume do sólido delimitado pelo

cone z = 2x2 + y 2 entre os planos z = 1 e z = 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Temos uma região definida D fechada e limitada no espaço. Também temos um cone com equação z = x 2 + y 2 . Nosso objetivo é encontrar o volume do sólido dentro do cone limitado pelos planos definidos pelas equações z = 1 e z = 2 .

Passo 2

O volume para o sólido em coordenadas esféricas é dado pela integral:

V = ∭ D   f ( ρ , ϕ , θ ) d V

Onde d V = ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ Precisamos primeiro integrar em relação a ρ , seguido de ? e por fim em relação a θ .

Passo 3

Sabemos também que ρ é a distância até a origem,? é o ângulo com relação ao eixo z e θ é o ângulo das coordenadas cilíndricas.

Dessa maneira podemos definir os limitantes da integral.Vamos calcular o ângulo θ para o primeiro quadrante:

0 ≤ θ ≤ π 2

Teremos que:

0 ≤ ϕ ≤ π 4

Logo:

s e c ⁡ ϕ ≤ ρ ≤ 2 s e c ⁡ ϕ

Passo 4

Então, podemos escrever a integral do volume da seguinte maneira:

V   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 π / 4     ∫ s e c ⁡ ϕ 2 s e c ⁡ ϕ     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   = 4 3 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 π / 4     8 s e c 3 ⁡ ϕ - s e c 3 ⁡ ϕ s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ   = 28 3 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 π / 4     s e c 3 ⁡ ϕ s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ   = 28 3 ∫ 0 π / 2     1 2 t g 2 ⁡ ϕ 0 π / 4   d θ   = 14 3 ∫ 0 2 π     d θ   = 7 π 3

Resposta

Dessa forma, concluímos que o resultado correto desta questão, é um volume igual a 7 π 3 (unidades de volume).

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