Calcular ∭ T ( x - 2 y ) . d V , onde T é a região limitada por (x-1)^2 + (y-2)^2 = 1 , z = 0 e z = x + y

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Para resolver este tipo de questão nós vamos fazer uma mudança de variáveis:

x = u + 1

y = v + 2

Colocando na fórmula do cilindro:

u 2 + v 2 = 1

z = u + v + 3

Desenhando:

O nosso cilindro é limitado por u 2 + v 2 = 1 .

Já sabemos que o intervalo de z será:

0 ≤ z ≤ u + v + 3

Para o u e o v basta usarmos o cilindro, certo?

v 2 = 1 - u 2

v = ± 1 - u 2

Então v estará entre:

- 1 - u 2 ≤ v ≤ 1 - u 2

Legal, agora só precisamos de u . Que obrigatoriamente deverá ser:

1 - u 2 ≥ 0

u ≤ ± 1

Ou melhor:

- 1 ≤ u ≤ 1

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T ( x - 2 y ) . d V = ∭ T u + 1 - 2 ( v + 2 ) . d V

= ∭ T u - 2 v - 3 . d V

= ∫ - 1 1 [ ∫ - 1 - u 2 1 - u 2 ∫ 0 u + v + 3 u - 2 v - 3 d z d v ] d u    

Resolvendo:

∫ 0 u + v + 3 u - 2 v - 3 d z = z = u - 2 v - 3 ( u + v + 3 )

= u 2 - u v - 9 v - 2 v 2 - 9

Aplicando na integral:

= ∫ - 1 1 [ ∫ - 1 - u 2 1 - u 2 u 2 - u v - 9 v - 2 v 2 - 9 d v ] d u    

Agora vamos resolver a segunda:

∫ - 1 - u 2 1 - u 2 u 2 - u v - 9 v - 2 v 2 - 9 d v = u 2 v - u 2 v 2 2 - 9 v 2 2 - 2 v 3 3 - 9 v

Aplicando o intervalo:

= 2 u 2 1 - u 2 - 2 ( 1 - u 2 ) 3 2 3 - 18 1 - u 2

E aplicamos na última integral:

= ∫ - 1 1 [ 2 u 2 1 - u 2 - 4 ( 1 - u 2 ) 3 2 3 - 18 1 - u 2 ]   d u    

Passo 3

Agora vamos resolver cada termo separadamente:

= ∫ - 1 1 [ 2 u 2 1 - u 2 ]   d u    

Chamando:

u = s e n   ( v )

d u = cos ⁡ ( v ) . d v

O novo intervalo será:

s e n   v = 1 → v = π 2

s e n   v = - 1 → v = - π 2

Então:

= ∫ - π 2 π 2 [ 2 s e n 2 ( v ) 1 - s e n 2 ( v ) ]   ( cos ⁡ ( v ) . d v )    

Usando a identidade:

= ∫ - π 2 π 2 2 s e n 2 ( v ) cos 2 ⁡ ( v ) . d v    

Lembrando que:

s e n 2 v cos 2 ⁡ v = 1 - cos ⁡ ( 4 v ) 8

Então:

= 2 × 1 8 ∫ - π 2 π 2 ( 1 - cos ⁡ ( 4 v ) ) . d v    

Usando uma substituição simples:

= 2 × 1 8 v - 1 4 s e n   4 v

Aplicando o intervalo:

∫ - 1 1 [ 2 u 2 1 - u 2 ]   d u = 2 × π 8      

Passo 4

Na segunda integral:

= ∫ - 1 1 4 ( 1 - u 2 ) 3 2 3   d u    

= 4 3 ∫ - 1 1 ( 1 - u 2 ) 3 2   d u

Aqui nós vamos resolver por partes:

w = ( 1 - u 2 ) 3 2

d w = 3 2 ( 1 - u 2 ) 1 2 × - 2 u . d u = - 3 u ( 1 - u 2 ) 1 2 d u

d v = d u

v = u

Como nossa integral ficará?

= u ( 1 - u 2 ) 3 2 - ∫ - 1 1 - 3 u 2 ( 1 - u 2 ) 1 2 d u  

= u ( 1 - u 2 ) 3 2 + 3 ∫ - 1 1 u 2 ( 1 - u 2 ) 1 2 d u

Pelo Passo 3 sabemos que:

∫ - 1 1 u 2 ( 1 - u 2 ) 1 2 d u = π 8

Substituindo o resultado e o intervalo:

= 0 + 3 × π 8

Sendo assim:

4 3 ∫ - 1 1 ( 1 - u 2 ) 3 2   d u = 4 3 × 3 π 8 = π 2

Passo 5

Na última integral:

∫ - 1 1 [ 18 1 - u 2 ]   d u    

Chamando:

u = s e n   ( v )

d u = cos ⁡ ( v ) . d v

O novo intervalo será:

s e n   v = 1 → v = π 2

s e n   v = - 1 → v = - π 2

Então:

= ∫ - π 2 π 2 [ 18 1 - s e n 2 ( u ) ]   cos ⁡ ( v ) . d v    

Usamos a identidade novamente:

= ∫ - π 2 π 2 18 cos 2 ⁡ ( v ) . d v    

Usando:

cos 2 ⁡ v = 1 + cos ⁡ ( 2 v ) 2

Então:

= 9 ∫ - π 2 π 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 v ) ) . d v    

Por substituição:

= 9 v + 1 2 s e n   2 v . d v    

No intervalo:

∫ - 1 1 [ 18 1 - u 2 ]   d u = 9 π

Aplicando na integral do Passo 2:

∫ - 1 1 [ 2 u 2 1 - u 2 - 4 ( 1 - u 2 ) 3 2 3 - 18 1 - u 2 ]   d u   = π 4 - π 2 - 9 π

= - 37 π 4

E terminamos mais umaa !

Resposta

- 37 π 4

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