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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 20

Calcular ∭_T^() ( x - 2 y ) . d V , onde T é a região limitada por ( x - 1 )^2 + ( y - 2 )^2 = 1 , z = 0 e z = x + y .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Para resolver este tipo de questão nós vamos fazer uma mudança de variáveis:

x = u + 1

y = v + 2

Colocando na fórmula do cilindro:

u^2 + v^2 = 1

z = u + v + 3

Desenhando:

O nosso cilindro é limitado por u^2 + v^2 = 1 .

Já sabemos que o intervalo de z será:

0 <= z <= u + v + 3

Para o u e o v basta usarmos o cilindro, certo?

v^2 = 1 - u^2

v = +- sqrt(1 - u^2)

Então v estará entre:

- sqrt(1 - u^2) <= v <= sqrt(1 - u^2)

Legal, agora só precisamos de u . Que obrigatoriamente deverá ser:

1 - u^2 >= 0

u <= +- 1

Ou melhor:

- 1 <= u <= 1

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭_T^() ( x - 2 y ) . d V = ∭_T^() u + 1 - 2 ( v + 2 ) . d V

= ∭_T^() u - 2 v - 3 . d V

= int_(- 1)^1 [ int_(- sqrt(1 - u^2))^(sqrt(1 - u^2)) (int_0^(u + v + 3) (u - 2 v - 3) d z) d v ] d u

Resolvendo:

int_0^(u + v + 3) (u - 2 v - 3) d z = z = (u - 2 v - 3) ( u + v + 3 )

= u^2 - u v - 9 v - 2 v^2 - 9

Aplicando na integral:

= int_(- 1)^1 [ int_(- sqrt(1 - u^2))^(sqrt(1 - u^2)) (u^2 - u v - 9 v - 2 v^2 - 9) d v ] d u

Agora vamos resolver a segunda:

int_(- sqrt(1 - u^2))^(sqrt(1 - u^2)) (u^2 - u v - 9 v - 2 v^2 - 9) d v = u^2 v - (u^2 v^2)/(2) - (9 v^2)/(2) - (2 v^3)/(3) - 9 v

Aplicando o intervalo:

= 2 u^2 sqrt(1 - u^2) - (2 ( 1 - u^2 )^((3)/(2)))/(3) - 18 sqrt(1 - u^2)

E aplicamos na última integral:

= int_(- 1)^1 [ 2 u^2 sqrt(1 - u^2) - (4 ( 1 - u^2 )^((3)/(2)))/(3) - 18 sqrt(1 - u^2) ] d u

Passo 3

Agora vamos resolver cada termo separadamente:

= int_(- 1)^1 [ 2 u^2 sqrt(1 - u^2) ] d u

Chamando:

u = s e n ( v )

d u = cos ( v ) . d v

O novo intervalo será:

s e n (v) = 1 -> v = (pi)/(2)

s e n (v) = - 1 -> v = - (pi)/(2)

Então:

= int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) [ 2 s e n^2 ( v ) sqrt(1 - s e n^2 ( v )) ] ( cos ( v ) . d v )

Usando a identidade:

= int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 2 s e n^2 ( v ) cos^2 ( v ) . d v

Lembrando que:

s e n^2 (v) cos^2 (v) = (1 - cos ( 4 v ))/(8)

Então:

= 2 xx (1)/(8) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) ( 1 - cos ( 4 v ) ) . d v

Usando uma substituição simples:

= 2 xx (1)/(8) [v - (1)/(4) s e n (4 v)]

Aplicando o intervalo:

int_(- 1)^1 [ 2 u^2 sqrt(1 - u^2) ] d u = 2 xx (pi)/(8)

Passo 4

Na segunda integral:

= int_(- 1)^1 (4 ( 1 - u^2 )^((3)/(2)))/(3) d u

= (4)/(3) int_(- 1)^1 ( 1 - u^2 )^((3)/(2)) d u

Aqui nós vamos resolver por partes:

w = ( 1 - u^2 )^((3)/(2))

d w = (3)/(2) ( 1 - u^2 )^((1)/(2)) xx (- 2 u) . d u = - 3 u ( 1 - u^2 )^((1)/(2)) d u

d v = d u

v = u

Como nossa integral ficará?

= u ( 1 - u^2 )^((3)/(2)) - int_(- 1)^1 - 3 u^2 ( 1 - u^2 )^((1)/(2)) d u

= u ( 1 - u^2 )^((3)/(2)) + 3 int_(- 1)^1 u^2 ( 1 - u^2 )^((1)/(2)) d u

Pelo Passo 3 sabemos que:

int_(- 1)^1 u^2 ( 1 - u^2 )^((1)/(2)) d u = (pi)/(8)

Substituindo o resultado e o intervalo:

= 0 + 3 xx (pi)/(8)

Sendo assim:

(4)/(3) int_(- 1)^1 ( 1 - u^2 )^((3)/(2)) d u = (4)/(3) xx (3 pi)/(8) = (pi)/(2)

Passo 5

Na última integral:

int_(- 1)^1 [ 18 sqrt(1 - u^2) ] d u

Chamando:

u = s e n ( v )

d u = cos ( v ) . d v

O novo intervalo será:

s e n (v) = 1 -> v = (pi)/(2)

s e n (v) = - 1 -> v = - (pi)/(2)

Então:

= int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) [ 18 sqrt(1 - s e n^2 ( u )) ] cos ( v ) . d v

Usamos a identidade novamente:

= int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 18 cos^2 ( v ) . d v

Usando:

cos^2 (v) = (1 + cos ( 2 v ))/(2)

Então:

= 9 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) ( 1 + cos ( 2 v ) ) . d v

Por substituição:

= 9 [v + (1)/(2) s e n (2 v)] . d v

No intervalo:

int_(- 1)^1 [ 18 sqrt(1 - u^2) ] d u = 9 pi

Aplicando na integral do Passo 2:

int_(- 1)^1 [ 2 u^2 sqrt(1 - u^2) - (4 ( 1 - u^2 )^((3)/(2)))/(3) - 18 sqrt(1 - u^2) ] d u = (pi)/(4) - (pi)/(2) - 9 pi

= - (37 pi)/(4)

E terminamos mais umaa !

Resposta

- (37 pi)/(4)

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