10. Calcular ∬_R^() (d y d x)/((x + y)^2) , onde R é o retângulo 3 <= x <= 4 e 1 <= y <= 2 .

Passo 1

Seguindo a ordem de integração levando em consideração o gráfico, temos:

int_3^4 int_1^2 (d y d x)/((x + y)^2)

Vamos integrar em função de y e depois em função de x ,

int_1^2 (x + y)^(- 2) d y =

(((x + y)^(- 1))/(- 1)|_1^2 = (- (1)/(x + y)|_1^2 = - (1)/(x + 2) + (1)/(x + 1)

Passo 2

int_3^4 (- (1)/(x + 2) + (1)/(x + 1)) d x =

((- ln |x + 2| + ln |x + 1|)|_3^4 =

2 ln 5 - ln 3 - 3 ln 2

Resposta

2 ln 5 - ln 3 - 3 ln 2

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