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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 18

Calcule a integral dupla.

∬_D^() ( x^2 + 2 y ) d A

D é limitada por y = x , y = x^3 , x >= 0 .

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região geral. Nosso primeiro passo é esboçar a região e entender qual tipo de região estamos trabalhando.

Uma região do tipo 1 é uma região limitada acima e abaixo por uma curva, além disto, é limitada lateralmente por retas verticais. Portanto, o seu domínio é:

D = {(x , y)| x_0 <= x <= x_1 , g (x) <= y <= f (x) }

Já uma região do tipo 2 é o contrário. É uma região limitada lateralmente por curvas, mas acima e abaixo por retas horizontais. Portanto, temos o seguinte domínio:

D = {(x , y)| y_0 <= y <= y_1 , g (y) <= x <= f (y) }

Vamos então entender como a nossa região se comporta para podermos montar a integral.

Passo 2

Primeiramente, vamos esboçar a nossa região. Portanto,

As duas curvas se intersectam nos pontos em que:

y_c u r v a 1 = y_c u r v a 2

x = x^3

x^3 - x = 0

x * ( x^2 - 1 ) = 0

x * (x + 1) * (x - 1) = 0

Como queremos uma região em que x >= 0 , os nossos pontos de interseção que limitam a região são os pontos A = ( 0,0 ) e B = (1,1) .

Neste caso, a nossa região se comporta tanto como uma do tipo I como do tipo II. Como não há restrição, escolheremos o primeiro caso para trabalhar.

Passo 3

Agora podemos começar a escrever a nossa região. Como a região do tipo I é limitada acima por uma curva e abaixo por outra, temos:

x^3 <= y <= x

Já os limites laterais são 0 <= x <= 1 . Portanto, temos a seguinte integral:

∬_D^() (x^2 + 2 y) d A = int_0^1 int_(x^3)^x (x^2 + 2 y) d y d x

Resolvendo-a, temos:

int_0^1 int_(x^3)^x (x^2 + 2 y) d y d x = int_0^1 (x^2 y + y^2)_(x^3)^x d x

int_0^1 [ (x^3 + x^2) - (x^5 + x^6) ] d x

int_0^1 (- x^6 - x^5 + x^3 + x^2) d x = (- (x^7)/(7) - (x^6)/(6) + (x^4)/(4) + (x^3)/(3))_0^1

(- (1)/(7) - (1)/(6) + (1)/(4) + (1)/(3)) = (23)/(84)

Resposta

∬_D^() (x^2 + 2 y) d A = (23)/(84)

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