Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.1 - Ex. 18
Encontre a série de Maclaurin para usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que possui uma expansão em série de potências. Não mostre que Encontre também o raio de convergência associado.
Passo 1
Fala, galera! Tudo tranquilo?
Esse exercício pede a série de Maclaurin da função:
Usando a sua definição. Resumidamente, ela é uma forma de expressar uma função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de 𝑥. A série de Maclaurin pode ser resumida assim: nada mais é que a série de Taylor com e é desse formato:
Quando temos que encontrar nosso termo geral para a série de Maclaurin o que precisamos calcular é:
que são as derivadas de no ponto zero vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.
Para achar o Raio de Convergência da série de Maclaurin que vamos ter achado, vamos precisar analisar para quais valores de a sequência converge. Dentre todos os testes que vimos até agora, como no nosso caso aqui nós temos um termo fatorial na forma da série de Maclaurin, podemos usar o Teste da Razão, que simplifica bastante nossas expressões.
- Teste da Razão: Calculamos o limite:
- calculamos a primeira derivada, que é só derivarmos a função.
- Calculamos a segunda derivada, que é a primeira derivada, que vamos derivar de novo.
- Calculamos a terceira derivada, que é a segunda derivada, derivada novamente.
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para ).
Bora pra resolução!
Passo 2
Vamos começar determinando uma expressão que represente a enésima derivada de no ponto .
A lógica aqui é:
E assim por diante. Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir
Função original e seu valor em zero.
Primeira derivada e seu valor em zero.
Segunda derivada e seu valor em zero.
Terceira derivada e seu valor em zero.
A derivada da função (cosseno hiperbólico) é (seno hiperbólico) e a derivada de (seno hiperbólico) é (cosseno hiperbólico), por isso as derivadas estão se alternando.
Bom, tentando achar um padrão nos valores da derivada de no ponto zero, a gente conclui que:
Então, podemos escrever o termo geral da série de Maclaurin:
De uma forma que a gente some só nossos termos pares, já que os ímpares são nulos. Dessa forma, a série de Maclaurin será dada por:
Onde o do denominador e o garante que a gente só vai somar termos pares.
Passo 2
Agora que já encontramos a série de Maclaurin que a questão pediu, vamos entender para quais valores de ela converge, utilizando o teste da razão, e daí vamos tirar seu raio de convergência:
Aqui vamos ter:
E fazendo :
Já podemos aplicar no teste da razão, já escrevendo a divisão de frações como a multiplicação da primeira pelo inverso da segunda:
Vamos abrir as somas de expoentes usando a propriedade:
Simplificando os termos que se dividem:
Agora podemos abrir o fatorial para simplificar mais:
E ficamos com:
Agora podemos tirar tudo do módulo, já que é sempre positivo. Vamos calcular o limite:
Como o denominador cresce infinitamente, o limite tende a zero:
Passo 3
Lembra que o teste da razão que retomei no passo 1 diz que o valor do limite para uma série convergente é:
Dessa forma, temos que, para a convergência da nossa série:
E, consequentemente, como a condição é válida para todos os valores de , logo não temos restrições para os valores que pode assumir. Por isso, dizemos que seu raio de convergência é infinito: