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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 23c

Calcular as seguintes integrais:

int_0^a int_(- sqrt(a^2 - x^2))^(sqrt(a^2 - x^2)) int_0^4 d z . d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de 0 até 4 .

Pela segunda integral nós deduzimos que:

y^2 = a^2 - x^2

x^2 + y^2 = a^2

Um cilindro, certo?

Então nosso desenho ficará assim:

Neste caso é legal nós usarmos as integrais da forma como nos foi dado.

Começando por:

int_0^4 d z = z = 4

Aplicando no que restou:

= int_0^a int_(- sqrt(a^2 - x^2))^(sqrt(a^2 - x^2)) 4 . d y . d x

int_(- sqrt(a^2 - x^2))^(sqrt(a^2 - x^2)) 4 d y = 4 y = 4 ( sqrt(a^2 - x^2) + sqrt(a^2 - x^2) )

= 8 ( sqrt(a^2 - x^2) )

= int_0^a 8 ( sqrt(a^2 - x^2) ) . d x

= 8 int_0^a ( sqrt(a^2 - x^2) ) . d x

Passo 2

Para resolver esta última equação nós podemos usar a substituição:

x = a . s e n ( u )

d x = a . cos ( u ) . d u

O novo intervalo será:

s e n (u) = 1 -> u = (pi)/(2)

s e n (u) = 0 -> u = 0

= 8 int_0^((pi)/(2)) sqrt(a^2 - a^2 . s e n (u)) . ( a . cos ( u ) . d u )

= 8 int_0^((pi)/(2)) sqrt(a^2 ( 1 - s e n^2 (u) )) . ( a . cos ( u ) . d u )

Usando a identidade:

= 8 int_0^((pi)/(2)) sqrt(a^2 . cos^2 ( u )) . ( a . cos ( u ) . d u )

= 8 int_0^((pi)/(2)) ( a . cos ( u ) ) . ( a . cos ( u ) . d u )

= 8 int_0^((pi)/(2)) a^2 . cos^2 ( u ) . d u

= 8 a^2 int_0^((pi)/(2)) cos^2 ( u ) . d u

Lembrando que:

cos^2 ( u ) = (1 + cos ( 2 u ))/(2)

Substituindo:

= 4 a^2 int_0^((pi)/(2)) ( 1 + cos ( 2 u ) ) . d u

= 4 a^2 [u + int_0^((pi)/(2)) cos (2 u) . d u]

Mais uma substituição aqui:

= 4 a^2 [u + (1)/(2) s e n ( 2 u )]

Aplicando o intervalo:

= 4 a^2 [(pi)/(2) + (1)/(2) [s e n (pi) - s e n (0)]]

= 2 pi a^2

Prontinhoo!!

Resposta

2 pi a^2

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