Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:

b) lim x → 4 y → 1 ⁡ y x - 2 y - x + 2 4 - x + x y - 4 y

Passo 1

Queremos então calcular o lim x → 4 y → 1 ⁡ y x - 2 y - x + 2 4 - x + x y - 4 y . Só que ao calculamos diretamente, encontraremos que lim x → 4 y → 1 ⁡ y x - 2 y - x + 2 4 - x + x y - 4 y = 0 0 que é uma indeterminação.

Passo 2

Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

lim x → 4 y → 1 ⁡ y x - 2 y - x + 2 4 - x + x y - 4 y = lim x → 4 y → 1 ⁡ y x - 2 - 1 x - 2 - 1 ( - 4 + x ) + y x - 4

= lim x → 4 y → 1 ⁡ y - 1 x - 2 y - 1 x - 4 = lim x → 4 y → 1 ⁡ y - 1 y + 1 x - 2 y - 1 x - 2 x + 2

= lim x → 4 y → 1 ⁡ y + 1 x + 2

Passo 3

Dessa forma temos que:

lim x → 4 y → 1 ⁡ y x - 2 y - x + 2 4 - x + x y - 4 y = lim x → 4 y → 1 ⁡ y + 1 x + 2 = 1 + 1 4 + 2 = 2 4 = 1 2

Resposta

lim x → 4 y → 1 ⁡ y x - 2 y - x + 2 4 - x + x y - 4 y = 1 2

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