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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 5h

Usando coordenadas polares, calcular:

h) int_0^a int_0^(sqrt(a^2 - x^2)) sqrt(x^2 + y^2) d y d x

Passo 1

Temos que:

0 <= x <= a

0 <= y <= sqrt(a^2 - x^2)

A representação da região de integração é dada:

Assim:

0 <= y <= sqrt(a^2 - x^2)

0 <= y^2 <= a^2 - x^2

0 <= x^2 + y^2 <= a^2

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

0 <= r^2 <= a^2

0 <= r <= a

Desse modo, temos que:

0 <= r <= a

0 <= theta <= (pi)/(2)

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

int_0^((pi)/(2)) int_0^a r * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^a r^2 d r = (r^3)/(3)

Aplicando os limites:

(a^3 - 0) (1)/(3) = (a^3)/(3)

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^((pi)/(2)) (a^3)/(3) d theta = (a^3)/(3) theta

Aplicando os limites:

((pi)/(2) - 0) (a^3)/(3) = (a^3 pi)/(6)

Resposta

(a^3 pi)/(6)

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