Usando coordenadas polares, calcular:

h)   ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 x 2 + y 2 d y d x

Passo 1

Temos que:

0 ≤ x ≤ a

0 ≤ y ≤ a 2 - x 2

A representação da região de integração é dada:

Assim:

0 ≤ y ≤ a 2 - x 2

0 ≤ y 2 ≤ a 2 - x 2

0 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

0 ≤ r 2 ≤ a 2

0 ≤ r ≤ a

Desse modo, temos que:

0 ≤ r ≤ a

0 ≤   θ ≤ π 2

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∫ 0 π 2 ∫ 0 a r ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 a r 2 d r = r 3 3

Aplicando os limites:

a 3 - 0 1 3 = a 3 3    

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 2 a 3 3   d θ = a 3 3 θ

Aplicando os limites:

π 2 - 0 a 3 3 = a 3 π 6

Resposta

a 3 π 6

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