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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 8

Calcular ∬_R^() x d x d y , sendo R a região delimitada por x^2 + y^2 - 4 x = 0 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Assim:

x^2 + y^2 - 4 x <= 0

x^2 + y^2 <= 4 x

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

r^2 <= 4 r cos theta

r <= 4 cos theta

Desse modo, temos que:

0 <= r <= 4 cos theta

- (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2)

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ r cos theta * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^(4 cos theta) r^2 cos theta d r = (r^3)/(3) cos theta

Aplicando os limites:

((64 cos^3 theta - 0)/(3)) cos theta = (64)/(3) cos^4 theta

Passo 4

Integrando para theta :

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (64)/(3) cos^4 theta d theta = (64)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (cos^2 theta)^2 d theta = (64)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) ((1 + cos (2 x))/(2))^2 d theta

= (64)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (1 + 2 cos (2 x) + cos^2 (2 x))/(4) d theta

= (16)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 1 + 2 cos (2 x) + ((1 + cos (4 x))/(2)) d theta

= (16)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 1 + 2 cos (2 x) + (1)/(2) + (cos (4 x))/(2) d theta

= (16)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (3)/(2) + 2 cos (2 x) + (cos (4 x))/(2) d theta

Integrando e aplicando os limites de integração:

= (16)/(3) ([(3 theta)/(2) + sin (2 x) + (sin (4 x))/(8)]|_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) = ([8 theta + (16 sin (2 x))/(3) + (2 sin (4 x))/(3)]|_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) =

= (4 pi + (16 sin (pi))/(3) + (2 sin (2 pi))/(3)) - (- 4 pi + (16 sin (- pi))/(3) + (2 sin (- 2 pi))/(3))

= (4 pi + 0 + 0) - (- 4 pi + 0 + 0) = 4 pi + 4 pi = 8 pi

Resposta

∬_R^() x d x d y = 8 pi

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Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é o sólido acima do plano x y limitado pelas superficies z = 0 , x + y + z = 1 e x 2 + y 2 = 1 .
Determine o volume dos sólidos W abaixo.W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = 25 e x^2 + y^2 = 9}
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superficíces z = 0 , x 2 + y 2 = 2 y e z = x 2 + y 2 .
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. ∫ 0 1 ∫ y 2 - y 2 ( x + y )d xd y
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 c o sθ .