Calcular ∬_R^() x d x d y , sendo R a região delimitada por x^2 + y^2 - 4 x = 0 . Passo 1A representação gráfica se dá: Assim: x^2 + y^2 - 4 x <= 0 x^2 + y^2 <= 4 x Como: x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2 Temos: r^2 <= 4 r cos theta r <= 4 cos theta Desse modo, temos que: 0 <= r <= 4 cos theta - (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2) Passo 2As coordenadas polares se dão da seguinte forma: x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2 Então, substituindo na equação dada, temos: ∬ r cos theta * r d r d theta Passo 3Integrando para r : int_0^(4 cos theta) r^2 cos theta d r = (r^3)/(3) cos theta Aplicando os limites: ((64 cos^3 theta - 0)/(3)) cos theta = (64)/(3) cos^4 theta Passo 4Integrando para theta : int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (64)/(3) cos^4 theta d theta = (64)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (cos^2 theta)^2 d theta = (64)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) ((1 + cos (2 x))/(2))^2 d theta = (64)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (1 + 2 cos (2 x) + cos^2 (2 x))/(4) d theta = (16)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 1 + 2 cos (2 x) + ((1 + cos (4 x))/(2)) d theta = (16)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 1 + 2 cos (2 x) + (1)/(2) + (cos (4 x))/(2) d theta = (16)/(3) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (3)/(2) + 2 cos (2 x) + (cos (4 x))/(2) d theta Integrando e aplicando os limites de integração: = (16)/(3) ([(3 theta)/(2) + sin (2 x) + (sin (4 x))/(8)]|_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) = ([8 theta + (16 sin (2 x))/(3) + (2 sin (4 x))/(3)]|_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) = = (4 pi + (16 sin (pi))/(3) + (2 sin (2 pi))/(3)) - (- 4 pi + (16 sin (- pi))/(3) + (2 sin (- 2 pi))/(3)) = (4 pi + 0 + 0) - (- 4 pi + 0 + 0) = 4 pi + 4 pi = 8 pi Resposta ∬_R^() x d x d y = 8 pi MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosDetermine o volume dos sólidos W abaixo.W é o sólido acima do plano x * y limitado pelas superficies z = 0 , x + y + z = 1 e x^2 + y^2 = 1 .Determine o volume dos sólidos W abaixo.W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = 25 e x^2 + y^2 = 9}Determine o volume dos sólidos W abaixo.W é limitado pelas superficíces z = 0 , x^2 + y^2 = 2y e z = raiz(x^2 + y^2) .Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. ∫ 0 1 ∫ y 2 - y 2 ( x + y )d xd yUtilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 * cos(theta) .Ver TambémVer Livro Diva Flemming - Cálculo B Ver tudo sobre Integrais DuplasLista de exercícios de Mudança para Coordenadas PolaresVer exercício 7.8 - 5hVer exercício 7.8 - 6