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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 21

Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ D x 2 + y 2 3 2   d A  

Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = 0   e   y = 3 x e pelo círculo x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = 0   e   y = 3 x e pelo círculo x 2 + y 2 = 9 . Nossa região de integração é dada por

Para esse caso fica mais fácil utilizarmos as coordenadas polares, assim, conseguiremos reescrever nossa integral como sendo

∫ 0 π 3 ∫ 0 3 r 2 3 2 ⋅ r   d r   d θ  

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ 0 π 3 ∫ 0 3 r 2 3 2 ⋅ r   d r   d θ  

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ 0 3 r 4   d x   = r 5 5 0 3 = 3 5 5

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 π 3 3 5 5   d y = 3 5 5 ⋅ θ 0 π 3 = 3 5 π 15 = 81 π 5

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

81 π 5

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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R x + yd A , onde R é a região que está a esquerda do eixo y e entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.13. ∬ R a r c t gy xd A Onde R = x , y1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,0 ≤ y ≤ x } .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.Um laço de rosácea r = cos ⁡ 3 θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ De - x 2 - y 2d A , onde D é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .