Determine o volume dos sólidos W abaixo.

W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 + z^2 ≤ 25 e x^2 + y^2 ≥ 9}

Passo 1

Bom galera, vamos começar identificando as superfícies formadas pelas equações que a questão nos deu:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25 → E s f e r a

x 2 + y 2 ≥ 9 →   C i l i n d r o

A gente pode notar que a região que chamaremos de D , fica:

9 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25

Onde a nossa função que será o limite superior e inferior são:

x 2 + y 2 + z 2 = 25

Usamos isso para encontrar uma função f ( x , y ) pra isso isolaremos z :

z 2 = 25 - x 2 - y 2

→ z = ± 25 - x 2 - y 2

Como ela é o limite inferior e superior a gente encontra a função:

f x , y = 25 - x 2 - y 2 - - 25 - x 2 - y 2

→ f x , y = 2 25 - x 2 - y 2

Passo 2

Belezinha, agora a gente deve fazer uma mudança de variável para a váriavel polar, aquela que ao invés de usarmos x e y usamos um raio r e um ângulo θ , essa mudança de variavel é com aquela formulinha:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Passo 3

Agora, encontramos a nossa função na nova variável:

f x , y = 2 25 - x 2 - y 2

Nas novas variáveis fica:

→ g r , θ = 2 25 - r 2

Passo 4

Show de bolinhas, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Passo 5

Então, pegamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

9 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25

E a gente tem a equação:

x 2 + y 2 = r 2

Então nossa região em Q fica:

9 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25

→ 9 ≤ r 2 ≤ 25

→ 3 ≤ r ≤ 5

Quanto a θ , nosso solido não tem nada que corte nosso cilindro e nossa esfera transversalmente, ou seja eles tem a circunferência completa, logo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 6

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

→ A = ∫ 0 2 π ∫ 3 5 2 25 - r 2 r   d r d θ

→ A = 2 ∫ 0 2 π ∫ 3 5 25 - r 2 r   d r d θ

Integramos a primeira vez:

A = 2 ∫ 0 2 π - 1 3 25 - x 2 3 2 3 5 d θ

= - 2 3 ∫ 0 2 π 25 - x 2 3 2 3 5 d θ

= - 2 3 ∫ 0 2 π 25 - 5 2 3 2 - 25 - 3 2 3 2 d θ

= - 2 3 ∫ 0 2 π 0 3 2 - 16 3 2 d θ

= - 2 3 ∫ 0 2 π - 64 d θ

E integramos denovo:

A = - 2 3 - 64 θ 0 2 π

= - 2 3 - 64 2 π - - 64 0

= - 2 3 - 128 π

= 256 3 π

E prontinho. 😊

Resposta

A = 256 3 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados