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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 19

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 25 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão, temos duas figuras, o parabololoide

z = x 2 + y 2

E o disco x 2 + y 2 ≤ 25

E queremos saber o volume entre eles.Primeiramente iremos transformar essas equações em coordenadas polares conforme solicitado, e então temos que encontrar qual o limite de integração para essa região limitada pelo disco. Após isso é so resolver a integral dupla. Vamos lá?

Passo 2

Em coordenadas polares, temos que:

x 2 + y 2 = r 2

Onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Temos que o disco é:

x 2 + y 2 ≤ 25

Ou seja:

r ≤ 5

Sendo assim, quando z = 0 , temos:

r = 0

E sabemos que o volume do sólido é dado por:

∬ D z d A

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ 5 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora é só desenvolver. Como:

d A = r d r d θ

Temos que:

V = ∬ D z d A

z = x 2 + y 2

Só que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Então:

z = r 2 cos ⁡ θ 2 + r 2 sen ⁡ θ 2

Simplificando:

z = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 )

Sabemos das propriedades trigonométricas que

( cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 ) = 1

Portanto temos:

z = r 2

Substituindo na integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 2 ⋅ r d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 d r d θ

Passo 4

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 5 r 3 d r = r 4 4 0 5

∫ 0 5 r 3 d r = 5 4 4

∫ 0 5 r 3 d r = 625 4

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π 625 4 d θ

Resolvendo, agora, temos:

∫ 0 2 π 625 4 d θ = 625 4 θ 0 2 π

∫ 0 2 π 625 4 d θ = 625 4 2 π

∫ 0 2 π 625 4 d θ = 625 π 2

Portanto o volume vale:

V = 625 π 2

Resposta

V = 625 π 2

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