Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em na direção de .
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo!
O vetor gradiente de em um ponto é o vetor
obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de em .
Para realizarmos a derivada precisamos relembrar a seguinte regrinha:
Então vamos considerar . E vamos precisar das derivadas e em relação a e :
Então a derivada , no ponto :
E a derivada , no ponto :
Então, o gradiente de , onde:
Passo 2
A notação de vetor gradiente para a derivada direcional, pode ser escrita como:
Porém, podemos observar que não é um vetor unitário, mas, sabemos que:
O vetor unitário é dado por:
Onde:
Logo:
Então o vetor unitário na direção de é:
Passo 3
A derivada de em na direção de é:
Até mais pessoal!
Resposta
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7- Considerando a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 2y em P0 = (2, 2) . Determine:c)A direção na qual a taxa de variação f em P0 é máxima.
Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P0 na direção do vetor u, nos seguintes casos:4- f(x, y, z) = sen(xy) + cos(yz), P0 = (1,0, -1), u = (-1, 2, 2)
5- Sejam f x ,y = x 3 x 2 + y 2 , x ,y ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x ,y = ( 0 ,0 ) e u = 1 ,1 . c)Justifique porque os valores encontrados em a) e b) são diferentes .
7- Considerando a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 2y em P0 = (2, 2) . Determine:a)A taxa de variação de f em P_0 na direção do vetor (1, 1).
9-Considerando as superfícies: S₁ de equação x^2 + y ~ 2 + (z - 2)^2 = 4, 2 ≤ z ≤ 4 , S₂ de equação z = 3 - (x^2 / 2) - (y^2 / 4), 4 ≤ x^2 + y^2 ≤ 12 e S₃ de equação z = -6 + raiz(3 * (x^2 + y^2)), x^