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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 14

Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u .

h x ,   y = tg - 1 ⁡ ( y / x ) + 3 sen - 1 ⁡ x y / 2 ,     P 0 1 ,   1 ,           u = 3 i - 2 j

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo!

O vetor gradiente de f x ,   y em um ponto P 0 x 0 ,   y 0 é o vetor

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P 0 .

Para realizarmos a derivada precisamos relembrar a seguinte regrinha:

y = tg - 1 ⁡ u → y ' = u ' 1 + u 2 y = sen - 1 ⁡ v → y ' = v ' 1 + v 2

Então vamos considerar u = y / x     v = x y / 2 . E vamos precisar das derivadas u ' e v ' em relação a x e y :

u ' = u x = - y x 2 u y = 1 x            

v ' = v x = y 2 v y = x 2

Então a derivada ∂ h / ∂ x , no ponto 1 ,   1 :

∂ h ∂ x = - y x 2 1 + y x 2 + 3 ∙ y 2 1 - x y 2 2 = - y x 2 x 2 + y 2 x 2 + 3 ∙ y 2 4 - x 2 y 2 4

= - y x 2 ∙ x 2 x 2 + y 2 + 3 ∙ y 2 ∙ 2 4 - x 2 y 2 = 3 ∙ y 4 - x 2 y 2 - y x 2 + y 2

= 3 ∙ 1 4 - 1 2 1 2 - 1 1 2 + 1 2 = 3 3 - 1 2 = 1 - 1 2

∂ h ∂ x = 1 2

E a derivada ∂ h / ∂ y , no ponto 1 ,   1 :

∂ h ∂ y = - 1 x ∙ x 2 x 2 + y 2 + 3 ∙ x 2 ∙ 2 4 - x 2 y 2 = x x 2 + y 2 + 3 ∙ x 4 - x 2 y 2

= 1 1 2 + 1 2 + 3 ∙ 1 4 - 1 2 1 2 = 1 2 + 3 3 = 1 2 + 1

∂ h ∂ y = 3 2

Então, o gradiente de f , onde:

∇ f = 1 2 i + 3 2 j

Passo 2

A notação de vetor gradiente para a derivada direcional, pode ser escrita como:

D u f x ,   y = ∇ f x ,   y ∙ u

Porém, podemos observar que u não é um vetor unitário, mas, sabemos que:

u = a i + b j

O vetor unitário é dado por:

v = u u

Onde:

u = a ,   b = a 2 + b 2

Logo:

u = 3 2 + - 2 2

u = 13

h x ,   y = tg - 1 ⁡ ( y / x ) + 3 sen - 1 ⁡ x y / 2 ,     P 0 1 ,   1 ,           u = 3 i - 2 j

Então o vetor unitário na direção de u é:

v = u u = u 13

v = 3 13 i - 2 13 j

Passo 3

A derivada de f em 1 ,   1 na direção de u é:

D u f 1 ,   1 = ∇ f 1 ,   1 ∙ v

= 1 2 i + 3 2 j ∙ 3 13 i - 2 13 j

= 3 2 13 - 3 ∙ 2 2 13 = 3 2 13 - 6 2 13

= - 3 2 13 ∙ 13 13 = - 3 13 2 ∙ 13

D u f 1 ,   1 = - 3 13 26

Até mais pessoal!

Resposta

D u f = - 3 13 26

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