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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 13

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.

g p , q = p 4 - p 2 q 3   ,   2,1   ,   v = i + 3 j

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente precisa encontrar a derivada direcional da função:

g p , q = p 4 - p 2 q 3

No ponto:

  2,1

Na direção:

v = i + 3 j

Primeiramente, encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação, com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:

∇ g p , q =   g p , g q

Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula:

D u f =   ∇ g p , q ⋅ u

Neste caso, o vetor dado não é o unitário, então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor unitario   u .

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais:

g p , q = p 4 - p 2 q 3

g p = 4 p 3 - 2 p q 3

e

g q = - 3 q ² p ²

Substituindo então:

∇ g p , q =   g p , g q =   4 p 3 - 2 p q 3 , - 3 q ² p ²

Passo 3

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ g 2,1 = 28 , - 12

Para achar o vetor u :

v = i + 3 j

Agora transformando ele em um vetor unitário:

u = v v

Temos que:

v = 1 2 + 3 2

Então temos que o nosso vetor é:

u = ( 1 10 , 3 10 )

Passo 4

Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u , como visto na fórmula apresentada no passo 1 :

D u g 2,1 = 28 , - 12 ⋅ 1 10 , 3 10

Realizando esse produto escalar:

D u g 2,1 = - 8 10

Resposta

D u g 2,1 = - 8 10

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