Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .

g(x, y, z) = (x + 2y + 3z)^(3/2)

(1,1, 2)

v = 2j - k

Passo 1

Eaee, tudo tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

g x , y , z = x + 2 y + 3 z 3 / 2

Queremos determinar a derivada direcional dessa função no ponto 1,1 , 2 na direção do seguinte vetor:

v = 2 j - k

Para isso, primeiramente, encontraremos as derivadas parciais g x , g y , g z das coordenadas da equação.

Com isso, poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:

∇ g x , y , z =   g x , g y , g z

Depois, a partir do vetor gradiente e do vetor unitário, podemos achar a derivada direcional pela fórmula:

D u g =   ∇ g x , y , z ⋅ u

Neste caso, o vetor dado não é o unitário, então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor   u , certinho??

Agora bora lá!! 😉

Aah... um pequeno detalhe que vai facilitar a nossa vida... Podemos também utilizar o seguinte formato para o vetor v :

v = 0 ,   2 ,   - 1

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais.

Para isso, basta lembrar que vamos derivar a nossa expressão em relação a variável que estamos tratando e vamos fazer todo o resto como constante.

Com isso, aplicando a Regra da Cadeia, temos que a derivada em relação a x é dada por:

g x = ∂ ∂ x x + 2 y + 3 z 3 / 2 ∴

g x = 3 2 x + 2 y + 3 z

De forma análoga, temos que a derivada em relação a y é dada por:

g y = ∂ ∂ y x + 2 y + 3 z 3 / 2 ∴

g y = 3 x + 2 y + 3 z

E a derivada com relação a z é dada da seguinte forma:

g z = ∂ ∂ z x + 2 y + 3 z 3 / 2 ∴

g z = 9 2 x + 2 y + 3 z

Passo 3

Assim, o nosso vetor gradiente tem a seguinte forma:

∇ g x , y , z =   g x , g y , g z ∴

∇ g x , y , z =   3 2 x + 2 y + 3 z , 3 x + 2 y + 3 z , 9 2 x + 2 y + 3 z

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ g 1,1 , 2 =   3 2 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 , 3 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 , 9 2 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 ∴

∇ g 1,1 , 2 = 9 2 , 9 , 27 2

Passo 4

Agora vamos o encontrar o vetor unitário, que é dado por:

u = v v

Para isso, sabemos que o enunciado nos deu o vetor v :

v = 0 ,   2 ,   - 1

Assim, aplicando em u , temos:

u = 0 ,   2 ,   - 1 0 2 + 2 2 + - 1 2 ∴

u = 0 , 2 5 , - 1 5

Passo 5

Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u , como visto na fórmula apresentada no passo 1 :

D u g 1,1 , 2 = 9 2 , 9 , 27 2 0 , 2 5 , - 1 5

Realizando a multiplicação:

D u g 1,1 , 2 = 0 + 18 5 - 27 2 5 ∴

D u g 1,1 , 2 = 9 5 10

Resposta

D u g 1,1 , 2 = 9 5 10

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