Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
e
Passo 1
O sólido é delimitado superiormente por , inferiormente por , considerando a rotação num plano temos:
Teremos que utilizar a transformação para coordenadas polares, mas primeiramente vamos descobrir qual é o raio máximo que podemos alcançar igualando o máximo e mínimo de :
Assim:
Passo 2
Para adotarmos , temos que adotar o volume como:
Transformando em coordenadas polares, temos:
Passo 3
Integrando para :
Aplicando os limites:
Passo 4
Integrando para :
Aplicando os limites:
Resposta
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Encontre o volume do sólido limitado pela superfície z = x^2 + x * y^2 e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0 e y = ± 2 .
Represente graficamente o sólido que se encontra entre a superfície z = 2xy / (x^2 + 1) e o plano z = x + 2y e é limitada pelos planos x = 0 , x = 2 , y = 0 e y = 4 . Então encontre o volume.
Encontre a área da superfície.A parte do plano 6x + 4y + 2z = 1 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 25 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 2y + 4z - x^2 = 5 que cruza acima do triangulo com vértices (0,0), (2,0) e(2,4) .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 5x + 3y - z + 6 = 0 que está acima do retângulo [1,4] × [2,6] .