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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 4

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

4 .   x 2 + y 2 = 1 ,   z = 0 e z = x 2 + y 2

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente por z = x 2 + y 2 , inferiormente por z = 0 e lateralmente por x 2 + y 2 = 1 , considerando a rotação num plano x y z temos:

0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1

Colocando a região de integração em coordenadas polares temos:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Assim, temos que o volume é dado por:

V = ∬ x 2 + y 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 1 r 3 d r = r 4 4

Aplicando os limites:

1 - 0 ⋅ 1 4 = 1 4

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 1 4 d θ = 1 4 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 ⋅ 1 4 = π 2

Resposta

π 2   u . v .

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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.21- Abaixo do parabolóide z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 9
Represente graficamente o sólido que se encontra entre a superfície z = e - x 2 cos ⁡ x 2 + y 2 e z = 2 - x 2 + y 2 para x ≤ 1 , y ≤ 1 . Use um sistema algébrico computacional para aproximar o volume
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 - x 2 - y 2 d y d x
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
Use um sistema algébrico computacional para encontrar o valor exato da integral ∬ R x 5 y 3 e x y d A , onde R = 0,1 × 0,1 . Então use um CAS para desenhar o sólido que é dado pela integral.