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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 7

Calcular o volume do sólido acima do plano xy e interior às superfícies z = 9 - x 2 - y 2 e x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Para calcular o volume nós vamos precisar limitar z.

Sabemos que o volume que queremos está no interior de ambas as figuras dadas e limitada pelo plano xy, certo?

Então, o z deverá estar entre:

0 ≤ z ≤ 9 - x 2 - y 2

Em coordenadas cilíndricas:

x 2 + y 2 = r 2

Então:

0 ≤ z ≤ 9 - r 2

Para definir o r nós precisamos olhar atentamente para a figura e perceber que o cilindro irá definir o raio, então:

r 2 = 1

r = ± 1

Sendo assim:

0 ≤ r ≤ 1

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∭ T r . d z . d r . d θ

= ∬ R ∫ 0 9 - r 2 d z r . d r . d θ

Resolvendo:

∫ 0 9 - r 2 d z = z = 9 - r 2

Sendo assim:

= ∬ R ( 9 - r 2 ) r . d r . d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 9 - r 2 d r d θ  

Resolvendo a integral:

∫ 0 1 r 9 - r 2 d r

Vamos chamar:

u = 9 - r 2

d u = - 2 r d r →   - d u 2 = r . d r

= ∫ 0 1 u - d u 2

= - 1 2 ∫ 0 1 u 1 2 d u = - 1 2 u 3 2 3 2 = - 1 3 u 3 2

Substituindo u:

= - 1 3 ( 9 - r 2 ) 3 2

Aplicando o intervalo:

= - 1 3 9 - 1 2 3 2 - 9 - 0 2 3 2

= - 1 3 16 2 - 27 = 9 - 16 2 3

Então:

= ∫ 0 2 π 9 - 16 2 3 d θ = 9 - 16 2 3 × 2 π

= 18 - 32 2 3 π

Finalizamos mais umaa !!

Resposta

18 - 32 2 3 π

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