Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 14
Nos exercícios 11 a 19, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas.
14. e .
Passo 1
Bora começar?!
Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?
Beleza galera !!
Pelo desenho tá fácil, não está?! O z é delimitado inferiormente por e superiormente por
Então:
O valor de x e y é máximo quando os dois paraboloides se encontram, não é?
Então:
Sendo assim:
Para o x basta nós lembrarmos que:
Ou melhor:
Passo 2
Agora que já sabemos os intervalos de integração:
Resolvendo a primeira integral:
Sendo assim:
Nesta segunda integral teremos:
Substituindo na última integral:
Agora vamos resolver cada uma separadamente!!
Passo 3
Começando por:
Para resolver vamos chamar:
O novo intervalo será:
Usando a identidade:
Sabendo que:
Então:
Por substituição simples:
No intervalo:
Sendo assim:
Passo 4
Agora na segunda:
Vamos chamar novamente:
O novo intervalo será:
Usando a identidade anterior:
E lembrando que:
Então:
Usando novamente a substituição:
No intervalo:
Sendo assim:
Passo 5
Na última temos:
Pelos passos 3 e 4:
Substituindo na integral do Passo 2:
Racionalizando:
Tranquila?