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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 10

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

10 .   z = 0 ,   x 2 + y 2 = 16 e z = 10 + x

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente por z = 10 + x , inferiormente por z = 0 e lateralmente por x 2 + y 2 = 16 , considerando a rotação num plano x y z temos:

0 ≤ z ≤ 10 + x

0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16

Teremos que utilizar a transformação para coordenadas polares, assim:

0 ≤ r ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

O volume é dado como:

V = ∬ ( 10 + x ) d x d y

Transformando em coordenadas polares, temos:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4     1 0 + r cos ⁡ θ ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 4     ( 10 r + r 2 cos ⁡ θ )   d r = 5 r 2 + r 3 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites:

16 - 0 ⋅ 5 + 64 - 0 ⋅ 1 3 cos ⁡ θ = 80 + 64 3 cos ⁡ θ

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 80 + 64 3 cos ⁡ θ d θ = 80 θ + 64 3 s e n   θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 ⋅ 80 + s e n   2 π - s e n   0 ⋅ 64 3 = 160 π

Resposta

160 π   u . v .

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Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido no primeiro octante sob o plano z = x + y , acima da superfície z = x y e delimitada pela superfície x = 0 , y = 0 e x 2 + y 2 = 4 .
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ 0 y f ( x , y ) d x d y
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Limitado por z = 1 - x 2 - y 2 e z = 0 .
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido limitado pelo paraboloide cilíndrico y = x 2 e pelos planos z = 3 y , z = 2 + y .