Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:

d) y = 5x - 2; P(1/2, 1/2)

Passo 1

A ideia nessa questão é lembrar que o vetor gradiente é normal a curva. Então vamos montar uma expressão para f x , y e acharmos o gradiente de f . Por fim, vamos verificar o valor do gradiente no ponto 1 2 , 1 2 . A expressão que ele nos deu foi a seguinte:

y = 5 x - 2

Isto é,

y - 5 x + 2 = 0

Então a expressão para f x , y fica o seguinte:

f x , y = y - 5 x + 2

Passo 2

Agora que já encontramos f x , y vamos ver como fica o gradiente de f :

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Assim,

∇ f x , y = ∂ y - 5 x + 2 ∂ x i → + ∂ y - 5 x + 2 ∂ y j →

Derivando parcialmente, temos:

∇ f x , y = - 5   i → + 1   j →

Passo 3

Para finalizarmos esse exercício, basta verificarmos o valor do gradiente no ponto 1 2 , 1 2 , mas repare que ∇ f x , y é constante. Assim,

∇ f 1 2 , 1 2 = - 5   i → + 1   j →

Representando geometricamente esse vetor:

Resposta

Vetor:

∇ f 2 ,   2 = 4   i → + 4   j →  

Representação geométrica:

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