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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 5

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

5 .   x 2 + y 2 = 4 ,   y + z = 8 e z = 0

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente por z = 8 - y , inferiormente por z = 0 e lateralmente por x 2 + y 2 = 4 , considerando a rotação num plano x y z temos:

0 ≤ z ≤ 8 - y

0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4

Colocando a região de integração em coordenadas polares temos:

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Assim, temos que o volume é dado por:

V = ∬ 8 - y d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 8 - r   s e n   θ ) ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 1 ( 8 r - r 2   s e n   θ ) d r = 4 r 2 - r 3 3 s e n   θ

Aplicando os limites:

4 ⋅ 4 - 0 - 8 - 0 ⋅ 1 3 s e n   θ = 16 - 8 3 s e n   θ

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 16 - 8 3 s e n   θ d θ = 16 θ + 8 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites:

16 ⋅ 2 π - 0 + 8 3 ⋅ ( cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0 ) = 32 π - 8 3 ⋅ 1 - 1 = 32 π

Resposta

32 π   u . v .

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