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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 15

  1. Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Seção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área da superfície da porção do paraboloide z = x 2 + y 2 que está acima do quadrado [ 0,1 ] × [ 0,1 ] .
  2. Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área da superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a).

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo na paz?

Na parte a) a questão pede que a gente use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas com quatro quadrados para estimarmos a área da superfície do paraboloide que está acima do quadrado no plano x y [ 0,1 ] × [ 0,1 ] . A regra do ponto médio pode ser calculada como:

A ≈ ∑ i = 1 4 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 ∆ A

Resumindo o que precisamos achar aqui: vamos dividir nosso retângulo [ 0,1 ] × [ 0,1 ] em quatro partes como pede o enunciado e calcularmos seus pontos médios.

Depois nós vamos calcular as derivadas parciais da nossa função em relação a x e a y e vamos somar os termos:

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2

Para cada ponto médio que encontramos.

Vamos calcular também ∆ A , que é a área de cada um dos quatro retângulos.

Na parte b) vamos usar um sistema para calcular a integral dupla:

A R = ∬ D 1 + 4 x 2 + 4 y 2 d A

Vamo lá!

Passo 2

Vamos inicialmente tomar quatro quadrados, formando um único quadrado. Desta forma podemos dizer que o ponto médio de cada um desses quadrados será

1 4 , 1 4 , 1 4 , 3 4 , 3 4 , 1 4 e 3 4 , 3 4

Passo 3

Vamos calcular:

∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1  

E para isso precisamos achar as derivadas parciais:

z = x 2 + y 2

  • ∂ z ∂ x :

    • Derivando em x e tratando as outras variáveis como constantes:

    ∂ z ∂ x = 2 x

  • ∂ z ∂ y :

Derivando em y e tratando as outras variáveis como constantes:

∂ z ∂ y = 2 y

Aplicando no nosso termo:

2 x 2 + 2 y 2 + 1 = 4 x 2 + 4 y 2 + 1

Passo 4

Calculando Δ A , a região que antes era [ 0,1 ] × [ 0,1 ] , ou seja, um quadrado de 1 x 1, agora que dividimos em 4, cada quadrado vai ter metade dessa medida nas duas direções, então:

Δ A = 0,5 ⋅ 0,5 = 1 4

Agora que já temos todos os termos de:

A ≈ ∑ i = 1 4 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 ∆ A

Vamos substituir o que encontramos:

A ≈ ∑ i = 1 4 4 x 2 + 4 y 2 + 1   1 4

Agora é só somarmos essa expressão para cada um dos pontos médios que encontramos no passo 2. Colocando ¼ para fora da soma, ficamos com:

≈ 1 4 4 1 4 2 + 4 1 4 2 + 1 + 4 1 4 2 + 4 3 4 2 + 1 + 4 3 4 2 + 4 1 4 2 + 1 + 4 3 4 2 + 4 3 4 2 + 1

Logo temos

= 1 4 3 2 + 2 7 2 + 11 2 ≈ 1.8279

Passo 5

b) A regra do ponto médio é uma forma de calcular a integral dupla sobre uma região:

A ≈ ∑ i = 1 4 4 x 2 + 4 y 2 + 1   1 4 ≈ ∬ R 1 + 4 x 2 + 4 y 2 d A

Então, no software jogamos a integral dupla. Como o retângulo é [ 0,1 ] × [ 0,1 ] , nossos limites de integração são:

0 ≤ x ≤ 1

E:

0 ≤ y ≤ 1

Com a utilização de um sistema de computação algébrica, temos que

A R = ∬ D 1 + 4 x 2 + 4 y 2 d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + 4 x 2 + 4 y 2   d x   d y ≈ 1.816

Resposta

  1. A ≈ ∑ i = 1 4 4 x 2 + 4 y 2 + 1   1 4 ≈ 1.8279

  2. ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + 4 x 2 + 4 y 2   d x   d y ≈ 1.816
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Determine a área da superfície.A parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9 .
Determine a área da superfície.A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.
Mostre que a área da parte do plano z = a x + b y + c que projeta sobre uma região D no plano x y com área A ( D ) é a 2 + b 2 + 1 A ( D ) .
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = 1 + 3 x + 2 y 2 que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 0,1 e 2,1 .
Determine a área da superfície.A parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 que está acima do retângulo com vértices 0,0 , 4,0 , 0,2 e 4,2 .