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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 9

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

9 .   x 2 + y 2 = 4 e z 2 + x 2 = 4

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente por z = 4 - x 2 , inferiormente por z = 0 . Devemos primeiramente calcular o volume do primeiro octante para somente depois encontrar o volume total do sólido que será 8 vezes maior por conta da simetria do sólido.

Assim, no primeiro octante temos a quarta parte do círculo x 2 + y 2 = 4 :

0 ≤ y ≤ 4 - x 2

0 ≤ x ≤ 2

Passo 2

Assim, temos que o volume do primeiro octante é dado por:

V 1 = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 4 - x 2 d y d x

Passo 3

Integrando para y :

∫ 0 4 - x 2 4 - x 2 d y = 4 - x 2 y

Aplicando os limites:

4 - x 2 - 0 ⋅ 4 - x 2 = 4 - x 2  

Passo 4

Integrando para x :

∫ 0 2 ( 4 - x 2 ) d x = 4 x - x 3 3

Aplicando os limites:

2 - 0 ⋅ 4 - 8 - 0 ⋅ 1 3 = 8 - 8 3 = 16 3

Passo 5

Agora, multiplicamos por 8 para obtermos o volume total do sólido:

V = 8 ⋅ V 1 = 8 ⋅ 16 3 = 128 3  

Resposta

128 3   u . v .

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