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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 1c

Calcule (d vec F)/(d t) e (d^2 vec F)/(d t^2) .

vec F (t) = sen 5 t vec i + cos 4 t vec j - e^(- 2 t) vec k

Passo 1

Para calcular a derivada de uma função vec F : A -> R^n , basta calcular a derivada de cada coordenada, para encontrar o vetor tangente.

Calculando a primeira derivada

(d vec F)/(d t) = 5 cos 5 t vec i - 4 s en 4 t vec j + 2 e^(- 2 t) vec k

Passo 2

Calculando a segunda derivada

(d^2 vec F)/(d t^2) = - 2 5 s en 5 t vec i - 16 cos 4 t vec j - 4 e^(- 2 t) vec k

Resposta

(d vec F)/(d t) = 5 cos 5 t vec i - 4 sen 4 t vec j + 2 e^(- 2 t) vec k

(d^2 vec F)/(d t^2) = - 25 sen 5 t vec i - 16 cos 4 t vec j - 4 e^(- 2 t) vec k

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Seja r → definida em R , com valores em R 3 e derivável até segunda ordem. Prove que se r → t × d r → d t t for constante em R , então r → t × d 2 r → d t 2 t = 0 → em R .
Seja F : I → R n derivável em t 0 ∈ I e seja E Δ t o erro que se comete na aproximação do acréscimo “ F t 0 + Δ t - F t 0 ” por “ F ' t 0 Δ t ”. Prove que E ( Δ t ) tende a 0 → mais rapidamente que Δ
Calcule d F → d t e d 2 F → d t 2 . F → t = t 2 3i → + cos ⁡ t 2 j → + 3 tk →
Seja F definida no intervalo I e com valores em R n . Suponha que F ' t = 0 → para todo t em I . Prove que existe uma constante k = k 1 , k 2 , … , k n ∈ R n tal que F t = k para todo t em I .
Suponha u → ρ θ = cos ⁡ θ i → + sen ⁡ θ j → , u → θ θ = - sen ⁡ θ i → + cos ⁡ θ j → e r → t = ρ tu → ρ θ ( t ) , com θ = θ t e ρ = ρ t deriváveis até a 2ª ordem num intervalo I . Notação: ρ ˙ = d ρ d