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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 24

Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.

∫ ∫ R x + y e x 2 - y 2   d A , onde R é o retângulo delimitado pelas retas

x - y = 0   ,     x - y = 2   ,     x + y = 0   ,     x + y = 3

Passo 1

Pessoal, vamos usar a seguinte transformação:

u = x + y   ,     v = x - y

Se resolvermos essas equações como se fosse um sistema, encontramos:

x = 1 2 u + v   ,     y = 1 2 u - v

E então podemos calcular o jacobiano da transformação:

∂ ( x ,   y ) ∂ ( u ,   v ) = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 = - 1 2

Passo 2

Agora estamos prontos para calcular a integral nas novas variáveis:

∫ ∫ R x + y e x 2 - y 2   d A = ∫ 0 3 ∫ 0 2 u e u v   - 1 2   d v   d u = 1 2 ∫ 0 3 e u v v = 0 v = 2   d u = 1 2 ∫ 0 3 ( e 2 u - 1 ) d u = 1 2 e 2 u 2 - u 0 3 = 1 2 e 6 2 - 3 - 1 2 = 1 4 e 6 - 7

Resposta

1 4 e 6 - 7

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Determine o jacobiano da transformação. x = u v , y = v w ,z = u w
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Determine o jacobiano da transformação. x = u v , y = u v
Determine o jacobiano da transformação. x = α sen ⁡ β , y = α cos ⁡ β
Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada. S é o disco dado por u 2 + v 2 ≤ 1 ; x = a u , y = b v