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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1a

Calcule

Passo 1

Similar ao procedimento das integrais duplas, o cálculo de uma integral tripla se dá por:

int int int_B f (x , y , z) d x d y d z = int int_K [int_(g (x , y))^(h (x , y)) f (x , y , z) d z] d x d y

Em que:

B = {(x , y , z) | g (x , y) <= z <= h (x , y) , (x , y) in K}

Que também pode ser representado por:

= int int_K [int_(g (y , z))^(h (y , z)) f (x , y , z) d x] d y d z

B = {(x , y , z) | g (y , z) <= z <= h (y , z) , (y , z) in K}

= int int_K [int_(g (x , z))^(h (x , z)) f (x , y , z) d y] d x d z

B = {(x , y , z) | g (x , z) <= z <= h (x , z) , (x , z) in K}

Passo 2

Logo:

int int int_B x y z d x d y d z = int int_K [int_1^2 x y z d z] d x d y

Neste caso, K é dado por:

0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1

Resolvendo a primeira integral:

= int int_K x y [(z^2)/(2)] | [[2],[1]] d x d y

Tal que substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(2) int int_K x y [4 - 1] d x d y = (3)/(2) int int_K x y d x d y

Passo 3

Agora, a resolução pode ser feita da mesma forma para integrais duplas. Com isso:

= (3)/(2) int int_K x y d x d y = (3)/(2) int_0^2 x [int_0^1 y d y] d x

= (3)/(2) int_0^2 x [(y^2)/(2)] | [[1],[0]] d x

Substituindo o intervalo de integração:

= (3)/(4) int_0^2 x d x

Passo 4

Por fim, a última integral se dará por:

= (3)/(4) [(x^2)/(2)] | [[2],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (3)/(8) [4 - 0] = (3)/(2)

Resposta

(3)/(2)

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