Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1c

Calcule

Passo 1

Similar ao procedimento das integrais duplas, o cálculo de uma integral tripla se dá por:

int int int_B f (x , y , z) d x d y d z = int int_K [int_(g (x , y))^(h (x , y)) f (x , y , z) d z] d x d y

Em que:

B = {(x , y , z) | g (x , y) <= z <= h (x , y) , (x , y) in K}

Que também pode ser representado por:

= int int_K [int_(g (y , z))^(h (y , z)) f (x , y , z) d x] d y d z

B = {(x , y , z) | g (y , z) <= z <= h (y , z) , (y , z) in K}

= int int_K [int_(g (x , z))^(h (x , z)) f (x , y , z) d y] d x d z

B = {(x , y , z) | g (x , z) <= z <= h (x , z) , (x , z) in K}

Passo 2

Logo:

int int int_B sqrt(1 - z^2) d x d y d z = int int_K [int_0^z sqrt(1 - z^2) d y] d x d z

Neste caso, K é dado por:

0 <= x <= 1 e 0 <= z <= 1

Resolvendo a primeira integral:

= int int_K sqrt(1 - z^2) [y] | [[z],[0]] d x d z

Tal que substituindo o intervalo de integração:

= int int_K [z sqrt(1 - z^2)] d x d z

Passo 3

Agora, a resolução pode ser feita da mesma forma para integrais duplas. Com isso:

= int int_K [z sqrt(1 - z^2)] d x d z = int_0^1 [int_0^1 [z sqrt(1 - z^2)] d z] d x

Usando o método da substituição simples com u = 1 - z^2 e d u = - 2 z d z , tem-se que:

Quando z = 1 -> u = 0

Quando z = 0 -> u = 1

= int_0^1 [int_1^0 [sqrt(u)] (- (d u)/(2))] d x = int_0^1 [int_0^1 [sqrt(u)] ((d u)/(2))] d x

= (1)/(2) int_0^1 [(2)/(3) u^(3 // 2)] | [[1],[0]] d x

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3) int_0^1 d x

Passo 4

Por fim, a última integral se dará por:

= (1)/(3) [x] | [[1],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3)

Resposta

(1)/(3)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 4 ∫ y 2 ∫ 0 y y d z d x d y
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 1 2 ∫ x 2 x ∫ 0 x + y z d z d y d x
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 1 2 ∫ 0 x 2 ∫ 0 1 x x 2 y 2 z d z d y d x
Calcule
Calcule