Calcule

Passo 1

Similar ao procedimento das integrais duplas, o cálculo de uma integral tripla se dá por:

∫ ∫ ∫ B f x ,   y ,   z d x d y d z = ∫ ∫ K ∫ g x ,   y h x ,   y f x ,   y ,   z d z d x d y

Em que:

B = x ,   y ,   z | g x ,   y ≤ z ≤ h x ,   y ,   x ,   y ∈ K

Que também pode ser representado por:

= ∫ ∫ K ∫ g y ,   z h y ,   z f x ,   y ,   z d x d y d z

B = x ,   y ,   z | g y ,   z ≤ z ≤ h y ,   z ,   y ,   z ∈ K

= ∫ ∫ K ∫ g x ,   z h x ,   z f x ,   y ,   z d y d x d z

B = x ,   y ,   z | g x ,   z ≤ z ≤ h x ,   z ,   x ,   z ∈ K

Passo 2

Logo:

∫ ∫ ∫ B 1 - z 2 d x d y d z = ∫ ∫ K ∫ 0 z 1 - z 2 d y d x d z

Neste caso, K é dado por:

0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1

Resolvendo a primeira integral:

= ∫ ∫ K 1 - z 2 y | z 0 d x d z

Tal que substituindo o intervalo de integração:

= ∫ ∫ K z 1 - z 2 d x d z

Passo 3

Agora, a resolução pode ser feita da mesma forma para integrais duplas. Com isso:

= ∫ ∫ K z 1 - z 2 d x d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 z 1 - z 2 d z d x

Usando o método da substituição simples com u = 1 - z 2 e d u = - 2 z d z , tem-se que:

Quando z = 1 → u = 0

Quando z = 0 → u = 1

= ∫ 0 1 ∫ 1 0 u - d u 2 d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 u d u 2 d x

= 1 2 ∫ 0 1 2 3 u 3 / 2 | 1 0 d x

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 3 ∫ 0 1 d x

Passo 4

Por fim, a última integral se dará por:

= 1 3 x | 1 0

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 3

Resposta

1 3

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