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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 3d

Calcule

int_0^1 (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 1

A função a ser integrada, não é definida em x = 1 , então se trata de uma integral imprópria, para calcularmos, vamos primeiramente aplicar o limite

int_0^1 (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = underset(t -> 1)(lim) int_0^t (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 2

Agora vamos calcular a integral normalmente, fazendo a substituição

{[[u = 1 - x^2],[d u = - 2 x d x => x d x = - (d u)/(2)]])

Esquecendo os limites de integração por enquanto

int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = - (1)/(2) int (d u)/(sqrt(u))

= - (1)/(2) int u^(- 1 // 2) d u = - (1)/(2) [(u^(1 // 2))/(1 // 2)] + C

= - sqrt(u) + C

Voltando a variável

= - sqrt(1 - x^2) + C

Retornando ao limite

underset(t -> 1)(lim) int_0^t (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = underset(t -> 1)(lim) [- sqrt(1 - x^2)]_0^t

Passo 3

Substituindo os limites de integração

underset(t -> 1)(lim) [- sqrt(1 - x^2)]_0^t = underset(t -> 0)(lim) [- sqrt(1 - t^2) + sqrt(1 - 0)]

= 1

Resposta

1

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