Calcule, caso exista.

c) lim(x, y) → (0, 0) x^2 / raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Como

(x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) = x^2 * (1)/(sqrt(x^2 + y^2))

Vamos botar x^2 no denominador em evidência também:

(x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) = x^2 * (1)/(sqrt(x^2 (1 + (y^2)/(x^2))))

Retirando a raiz quadrada do x do denominador, temos:

(x^2)/(|x|) * (1)/(sqrt((1 + (y^2)/(x^2))))

Passo 2

Como estamos tomando um limite com x e y indo pra 0 , vamos supor que vamos chegar na origem por meio da reta y = c x , ( c é uma constante), de forma que o limite de y // x é dado por

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (y)/(x) = underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (c x)/(x) = c

Passo 3

Já a parte que tem x^2 vai ficar

(x^2)/(|x|) = |x|

Isso por que x^2 > 0 , então essa razão tem que ter um valor positivo.

Passo 4

Substituindo no limite original, o nosso limite então fica:

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) = underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (|x|)/(sqrt((1 + (y^2)/(x^2)))) = underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (|x|)/(sqrt((1 + c^2)))

Por esse lado, temos uma constante multiplicando um limite:

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) = (1)/(sqrt((1 + c^2))) underset((x , y) -> (0,0))(l i m) |x|

Como o limite nesse caso é igual a zero:

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) |x|

Então concluímos que o limite original é igual a zero:

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) = (1)/(sqrt((1 + c^2))) . 0 = 0

E feshoooww! 😉

Resposta

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) = 0

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