Calcule, caso exista.

c) lim(x, y -> 0,0) x^2 / raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Como

x 2 x 2 + y 2 = x 2 ⋅ 1 x 2 + y 2

Vamos botar x 2 no denominador em evidência também:

x 2 x 2 + y 2 = x 2 ⋅ 1 x 2 1 + y 2 x 2

Retirando a raiz quadrada do x do denominador, temos:

x 2 x ⋅ 1 1 + y 2 x 2

Passo 2

Como estamos tomando um limite com x e y indo pra 0 , vamos supor que vamos chegar na origem por meio da reta y = c x , ( c é uma constante), de forma que o limite de y / x é dado por

l i m x , y → 0,0 y x = l i m x , y → 0,0 c x x = c

Passo 3

Já a parte que tem x 2 vai ficar

x 2 x = x

Isso por que x 2 > 0 , então essa razão tem que ter um valor positivo.

Passo 4

Substituindo no limite original, o nosso limite então fica:

l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = l i m x , y → 0,0 x 1 + y 2 x 2 = l i m x , y → 0,0 x 1 + c 2

Por esse lado, temos uma constante multiplicando um limite:

l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = 1 1 + c 2 l i m x , y → 0,0 x

Como o limite nesse caso é igual a zero:

l i m x , y → 0,0 x

Então concluímos que o limite original é igual a zero:

l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = 1 1 + c 2 . 0 = 0

E feshoooww! 😉

Resposta

l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = 0

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