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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.1 - Ex. 1d

Calcule, caso exista.

d) underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x y)/(x^2 + y^2)

Passo 1

Tomando como base exemplos que temos no livro, e levando em consideração o problema que ela tem na origem, a intuição nos diz que esse limite não existe. Para a gente ter certeza, vamos usar uma fórmula que diz

underset(( x , y ) -> ( e , f ))(l i m) f (x , y) = a <=> underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_1 (t)) = a , AA gamma_1 ( t )

Como a gente acha que o limite não existe, então se nossa caixolinha despertar para dois caminhos que o limite vá para valores diferentes, ta feito... o limite não existe. Então bora lá.

Considere gamma_1 (t) = (0 , t) , temos que

underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_1 (t)) = underset(t -> 0)(l i m) (0 * t)/(0 + t^2) = 0

Mas, para gamma_2 (t) = (t , (t)/(2)) ,

underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_2 (t)) = underset(t -> 0)(l i m) ((t^2)/(2))/(t^2 + (t^2)/(4)) = underset(t -> 0)(l i m) ((t^2)/(2))/((5 t^2)/(4)) = underset(t -> 0)(l i m) (t^2)/(2) * (4)/(5 t^2) = (2)/(5)

Logo, o limite não existe

Resposta

O limite não existe.

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