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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.1 - Ex. 1e

1 - Calcule caso exista

e ) underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4)

Passo 1

Esse limite super parece que não existe, não é mesmo? Uma forma de verificar isso é aproximando do ponto (0 , 0) por diferentes caminhos e vendo se os valores são iguais ou não. A boa notícia, é que se os limites por diferentes caminhos forem de diferentes resultados, então é porque o limite geral não existe!

Primeiro vamos nos aproximar da origem pela reta y = x :

x = y

Então...

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4) = underset(x -> 0)(lim) (x^2 (x - x))/(x^4 + x^4) = 0

Agora vamos nos aproximar pela reta...

x = 2 y

Substituindo...

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4) = underset(y -> 0)(lim) (2 y^2 (2 y - y))/((2 y)^4 + y^4) =

underset(y -> 0)(lim) (2 y^3)/(16 y^4 + y^4) =

underset(y -> 0)(lim) (2 y^3)/(17 y^4) = underset(y -> 0)(lim) (2)/(17 y)

Esse limite simplesmente não existe, já que se y for a 0 pela direita (pelo positivos) esse limite vai a infinito positivo. E se y for a 0 pela esquerda, o limite fica sendo - oo . Em ambos os casos, o resultado é totalmente diferente de 0 , como encontramos no primeiro limite (quando nos aproximamos de (0 , 0) pela reta x = y .

LOGO: O limite não existe!

Resposta

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4) = ∄

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Calcule, caso exista.b) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))
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Calcule, caso exista.h) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y^2)/(x^2 - y^2)
Calcule, caso exista.c) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x^2)/(sqrt(x^2 + y^2))