Sejam γ 1 e γ 2 curvas satisfazendo as condições do exemplo 4. A afirmação :

lim t → 0 ⁡   f γ 1 t = l i m t → 0   f γ 2 t = L ⟹   lim x , y → 0,0 f x , y = L ⁡    

É falsa o verdadeira ? Justifuque.

Passo 1

Falso. Levando em consideração a função f x , y = x y x 2 + y 2 . Considere o caminho γ 1 t = 0 , t , para t ≥ 0 , temos que γ 0 = 0,0 e γ t ≠ 0,0 ,   pata t ≠ 0 ,   temos que lim t → 0 ⁡   f γ 1 t =   t ⋅ 0 t 2 + 0 = 0 .   E, considerando o caminho γ 2 t = t , 0 para t ≥ 0 , temos que γ 0 = 0,0 e γ t ≠ 0,0 ,   pata t ≠ 0 ,   temos que lim t → 0 ⁡   f γ 2 t =   t ⋅ 0 t 2 + 0 = 0 .  

Porém, vimos, pela questão 1   d ) que o limite não existe

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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