Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.1 - Ex. 6

Suponha que lim x , y → x 0 , y 0 ⁡   f x , y =   a e lim u → a ⁡   g ( u ) = L , com g não definida em a em   I m ⊂ D g . Prove que

l i m x , y → x 0 , y 0 g f x , y = lim u → a ⁡   g ( u )

Prove, ainda, que o resultado acima continua válido se pusermos g definida em a ,com g   contínua em a .

Passo 1

De l i m u → a g u = L   segue que para todo ϵ > 0 , existe δ 1 > 0 , tal que 0 < u - a < δ 1 ⟹ g u - L < ϵ .

Do l i m x , y → x 0 , y 0 f x , y = a , segue para o δ 1 > 0 acima , existe δ > 0 tal que

0 < x , y - ( x 0 , y 0 ) < δ   ⟹ f x , y - a < δ 1

Como a ∉ D g e I m f ⊂ D g , resulta que f x , y ≠ a   , para todo x , y ∈ D f .   Assim,

x , y - ( x 0 , y 0 ) < δ   ⟹ f x , y - a < δ 1

Daí,

0 < x , y - ( x 0 , y 0 ) < δ   ⟹ g f ( x , y ) - L < ϵ

Vejamos agora segunda demonstração.

De l i m u → a g u = L   segue que para todo ϵ > 0 , existe δ 1 > 0 , tal que 0 < u - a < δ 1 ⟹ g u - L < ϵ .

Do l i m x , y → x 0 , y 0 f x , y = a , segue para o δ 1 > 0 acima , existe δ > 0 tal que

0 < x , y - ( x 0 , y 0 ) < δ   ⟹ f x , y - a < δ 1

Como a ∈ D g e I m f ⊂ D g   e como f x , y   é contínua em a ,para todo x ∈ D f .  

x - a < δ   ⟹ g x - g ( a ) < δ 1

Daí, tomando δ 1 = δ

g x - g ( a ) < δ   ⟹ g f ( x , y ) - L < ϵ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule, caso exista.g) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y)/(y - x^3)
Calcule, caso exista.h) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y^2)/(x^2 - y^2)
1 - Calcule caso existae ) underset((x , y) - (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4)
Calcule, caso exista.c) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x^2)/(sqrt(x^2 + y^2))
Calcule, caso exista.d) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y)/(x^2 + y^2)