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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 1f

Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x_c = (int int_B x d m)/(int int_B d m)

y_c = (int int_B y d m)/(int int_B d m)

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = delta (x , y) d x d y

Neste caso, B é dado por:

Tal que para:

1 <= x <= 2

E

0 <= y <= sqrt(4 - x^2)

Além de que, para a densidade, o produto das coordenadas é:

delta (x , y) = k sqrt(x^2 + y^2)

Passo 2

A massa de B é dada por:

int int_B d m = int_1^2 [int_0^(sqrt(4 - x^2)) (k sqrt(x^2 + y^2)) d y] d x = k int_1^2 [int_0^(sqrt(4 - x^2)) sqrt(x^2 + y^2) d y] d x

Substituindo para coordenadas polares usando:

x = rho c o s theta e y = rho s e n theta

Tal que

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta = rho d rho d theta

Para x^2 + y^2 = 1 -> rho = 1

Para x^2 + y^2 = 4 -> rho = 2

Para 1 <= rho <= 2 -> 0 <= theta <= pi

Obtém-se:

= k int_0^(pi) [int_1^2 sqrt(rho^2 (c o s^2 theta + s e n^2 theta)) rho d rho] d theta

= k int_0^(pi // 2) [int_1^2 rho^2 d rho] d theta

= k int_0^(pi) [(rho^3)/(3)] | [[2],[1]] d theta = (k)/(3) int_0^(pi) [8 - 1] d theta

= (7 k)/(3) int_0^(pi) 1 d theta

Dessa forma:

= (7 k)/(3) [theta] | [[pi],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (7 k)/(3) pi

Passo 3

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

int int_B x d m = int_1^2 [int_0^(sqrt(4 - x^2)) x (k sqrt(x^2 + y^2)) d y] d x = k int_1^2 [int_0^(sqrt(4 - x^2)) x sqrt(x^2 + y^2) d y] d x

Utilizando a mesma substituição para coordenadas polares, obtém-se:

= k int_0^(pi) [int_1^2 rho c o s theta sqrt(rho^2 (c o s^2 theta + s e n^2 theta)) rho d rho] d theta

= k int_0^(pi) c o s theta [int_1^2 rho^3 d rho] d theta

= k int_0^(pi) c o s theta [(rho^4)/(4)] | [[2],[1]] d theta = (k)/(4) int_0^(pi) c o s theta [16 - 1] d theta

= (15 k)/(4) int_0^(pi) c o s theta d theta

Dessa forma:

= (15 k)/(4) [s e n theta] | [[pi],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= 0

Passo 4

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

int int_B y d m = int_1^2 [int_0^(sqrt(4 - x^2)) y (k sqrt(x^2 + y^2)) d y] d x = k int_1^2 [int_0^(sqrt(4 - x^2)) y sqrt(x^2 + y^2) d y] d x

Utilizando a mesma substituição para coordenadas polares, obtém-se:

= k int_0^(pi) [int_1^2 rho s e n theta sqrt(rho^2 (c o s^2 theta + s e n^2 theta)) rho d rho] d theta

= k int_0^(pi) s e n theta [int_1^2 rho^3 d rho] d theta

= k int_0^(pi) s e n theta [(rho^4)/(4)] | [[2],[1]] d theta = (k)/(4) int_0^(pi) s e n theta [16 - 1] d theta

= (15 k)/(4) int_0^(pi) s e n theta d theta

Dessa forma:

= (15 k)/(4) [- c o s theta] | [[pi],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (15 k)/(4) [cos (0) - cos (pi)] = (15 k)/(2)

Passo 5

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x_c = (0)/((7 k)/(3) pi) = 0

E

y_c = ((15 k)/(2))/((7 k)/(3) pi) = (45)/(14 pi)

Logo:

(0 , (45)/(14 pi))

Resposta

(0 , (45)/(14 pi))

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